山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

2020—2021学年第二学期高二期末考试数学试题（理科） 【满分150分，考试时间120分钟】 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集 ，集合 ， ，则下图阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 2．某高校《统计》课程的教师随机给出了选该课程的一些情况，具体数据如下： 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断选修统计专业是否与性别有关，根据表中数据， 的观测值 ，所以可以判定选修统计专业与性别有关.那么这种判断出错的可能性为( ) A．5% B．95% C．1% D．99% 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 3．设 ，则“ ”是“ ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知命题 ：“ ”，命题 ：“ ”，则下列为真命题的是(    ) A． B． C． D． 5．若 ， ，则（ ） A． B． C． D． 6．若 的展开式中第四项为常数项，则 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知函数 ，则函数 的大致图象为(　　) A． B． C． D． 8．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是 ，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为(　　) A． B． C． D． 9．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为(　　) A．180 B．240 C．360 D．420 10．函数 的值域是(　　) A． B． C． D． 11．方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士（甲乙丙丁戊己庚)，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为(　　) A．甲 B．丙 C．戊 D．庚 12．已知定义在R上的连续奇函数 的导函数为 ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．假设关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料： x/年 2 3 4 5 6 y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为 ，其中已知 ，请估计是要年限为20年时，维修费用约为 （万元）. 14．随机变量ξ的取值为0，1，2.若 ， ，则 ________. 15．若正数x，y满足 ，则 的最小值为　　　　　. 16．已知函数 ，若存在实数 ，使得 成立，则实数 _________. 三、选做题：共10分.请考生在17、18题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 17．(本小题满分10分) 已知曲线C的极坐标方程为 ，以平面直角坐标系 的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系． (1)求曲线C的直角坐标方程； (2)A，B为曲线C上两点，若 ，求 的值． 18．(本小题满分10分) 已知 . (1)求证： ； (2)若 ，且 ，求证： ． 四、选做题：共12分.请考生在19、20题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 19．（本小题满分12分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，以平面直角坐标系 的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1) 求直线 的普通方程，曲线 的直角坐标方程； (2) 设直线 与曲线 交于 两点，点 在 上运动，求 面积的最大值． 20．（本小题满分12分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数 ，其中 为正实数. (1) 当 时，求不等式 的解集； (2) 若函数 的最小值为 ，求 的最小值． 五、解答题：本大题共4小题，每小题12分，共48分. 21．(本题满分12分) 设函数 (1)当 时，求函数f(x)的单调区间； (2)当 ， 时，方程