2014版高考数学（理）（人教A版，浙江省专用）一轮作业手册：第69讲　不等式的证明（基础热身+能力提升+挑战自我，含解析）

课时作业(六十九)A　[第69讲　不等式的证明] (时间：35分钟　分值：40分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知m，n，x，y∈R且m2＋n2＝1，x2＋y2＝3，求mx＋ny的最大值． 2．设a>0，b>0，且a≠b，证明：aabb>(ab). 3．已知x，y为实数，A＝2x2＋y2＋1，B＝2x(y－1)．求证：A≥B，并说明等号何时成立． 4．已知x，y，z是正数，且满足的最小值．＋＋＝1，求＋＋ 课时作业(六十九)B　[第69讲　不等式的证明] (时间：35分钟　分值：40分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2. 2．已知a，b是正数，求证：.≥ 3．[2012·浙大附中模拟] 已知a，b，c>0，且满足a2＋b2＋c2＝3，求证：≥1.＋＋ 课时作业(六十九)A 1．解：由柯西不等式得，(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝3，故mx＋ny的最大值为. 2．证明：因为>0，>1，，当a>b>0时，＝·b＝a·bb－＝aa－ 由指数函数的性质知.>1，所以aabb>(ab) 当b>a>0时，0<<0，<1， 由指数函数的性质知.>1，所以aabb>(ab) 综上知aabb>(ab). 3．证明：因为A－B＝2x2＋y2＋1－2x(y－1) ＝(x2－2xy＋y2)＋(x2＋2x＋1) ＝(x－y)2＋(x＋1)2≥0， 所以A≥B， 当且仅当x＝y＝－1时，等号成立． 4．解：∵· ≥ 即·4≥1. ∴即x＝y＝z＝3.＝＝，此时≥＋＋ 因此.的最小值为＋＋ 课时作业(六十九)B 1．证明：由已知m≥|a|，m≥|b|，m≥1. 又|x|>m， 所以|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1. 所以＋≤ ＝＝2.<1＋＝1＋＋<＋ 所以<2成立． 2．证明：方法一：因为a，b是正数，利用基本不等式， ＋2＋＝2ab＋ ＝.＝≥2＋＋ 所以.≥ 方法二：因为a，b是正数，利用柯西不等式， ＝ ≥.＝＝ 所以.≥ [点评] 利用柯西不等式证明不等式，关键是构造两个适当的数组，这两个数组的选取要结合题目条件和要解决的问题，“凑出”符合柯西不等式的形式． 3．证明：由(1＋2ab＋1＋2bc＋1＋2ca)≥(1＋1＋1)2， 得，≥＋＋ 又(ab＋bc＋ca