考点20 基本不等式-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点20 基本不等式 1．（2020·全国高考真题（理））设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】 因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ， 两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 双曲线的渐近线方程是 直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点 不妨设 为在第一象限， 在第四象限 联立 ，解得 故 联立 ，解得 故 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当 取等号 EMBED Equation.DSMT4 的焦距的最小值： 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 运用基本不等式求最值时，要注意： 一是各项或因式为正值，二是和或积为定值，三是各项或因式能相等。 即“一正、二定、三相等”。这三个条件缺一不可。 1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)． (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)． (4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大) 1．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列 （单位万元， ），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金 的 倍，已知 ．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ） A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元 2．（2021·全国高三月考（理））设正实数 、 满足 ，则下列说法错误的是（ ） A． 有最大值 B． 有最小值 C． 有最小值 D． 有最大值 3．（2021·福建上杭一中高三其他模拟）已知 是圆 ： 外一点，过 作圆的两切线，切点为 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 4．（2021·四川雅安市·高三三模（理））函数 的图象恒过定点A，若点A在双曲线 上，则 的最大值为 （ ） A．6 B．4 C．2 D．1 5．（2021·安徽安庆市·安庆一中高三三模（理））已知 ， ，直线 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D． 6．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））若圆 被直线 截得的弦长为4，则 的最小值是（ ） A．9 B．4 C． D． 7．（2021·重庆南开中学高三其他模拟）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ） A．25 B．18 C．16 D．8 8．（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，体积为 ，则 取得最大值时圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 9．（2021·山西运城市·高三二模（理））若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．（2021·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）在 中， 是边 上的点，且 ，若 ，则 的最小值（ ） A． B． C． D． 11．（2021·陕西宝鸡市·高三其他模拟（理））抛物线 的焦点为F，设 是抛物线上的两点，