考点19 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点19 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 1．（2016·浙江高考真题（理））在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x+y 2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 【详解】 试题分析：作出不等式组的可行域，如图（阴影部分），区域内的点在直线 上投影构成线段， ，即 ，而 ，由 得 ，即 ，由 得 ，即 ，则 ，故选C. 考点：1、线性规划的应用；2、两点间的距离公式. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.对于比较复杂的目标函数，可以根据划归思想、数形结合思想先找到最优解再解答. 2．（2017·全国高考真题（理））设x，y满足约束条件 ，则z＝2x＋y的最小值是（ ） A．－15 B．－9 C．1 D．9 【答案】A 【分析】 作出可行域，z表示直线 的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值. 【详解】 作出不等式组表示的可行域，如图所示， 目标函数 ，z表示直线 的纵截距， ， 数形结合知函数 在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值， 所以z的最小值为－12－3＝－15. 故选：A 【点睛】 本题考查简单的线性规划问题，属于基础题. 1.一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点． 2.一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范 (1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． (2)求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)，通过求直线的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距eq \f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq \f(z,b)取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距eq \f(z,b)取最大值时，z取最小值；截距eq \f(z,b)取最小值时，z取最大值． 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0； ②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0； ③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0. 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名 称 意 义 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 1．（2021·河南高三其他模拟（理））已知实数 ， 满足 ，则目标函数 的最大值为（ ） A．-1 B．-3 C．-7 D．-10 2．（2021·贵州高三期末（理））已知x，y满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A．