考点17 数列的综合运用-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点17 数列的综合运用 1．（2013·天津高考真题（理））已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 【答案】（1）an=（﹣1）n﹣1• （2）数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为 【解析】 （1）设等比数列的公比为q， ∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列． ∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5） 即4a5=a3， 故q2== 又∵数列{an}不是递减数列，且等比数列的首项为 ∴q=﹣ ∴数列{an}的通项公式an=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1• （2）由（1）得 Sn=1﹣（﹣）n= 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1= 故0＜≤=﹣= 当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2= 故0＞≥=﹣= 综上，对于n∈N*，总有≤≤ 故数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为 公式法求和中的常用公式有 (1)等差、等比数列的前n项和 ①等差数列：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d(d为公差)或Sn＝eq \f(na1＋an,2). ②等比数列：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，))其中q为公比． (2)四类特殊数列的前n项和 ①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(1,2)n(n＋1)． ②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. ③12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)． ④13＋23＋33＋…＋n3＝eq \f(1,4)n2(n＋1)2. 1．（2021·全国高三月考（理））某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上班，再休息一天， 张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天， 在第一天，王师傅、张师傅都休息，从第 个星期到第 个星期内，记第 个星期王师傅上班天数为 ，张师傅上班天数为 ，用 ， ， ， 分别表示 等于 ， ， ， 的个数，则( ， ， ， )=（ ） A． B． C． D． 2．（2021·全国高三专题练习（理））某人用本金5万元买了某银行的理财产品，该产品按复利计息(把前一期的利息和本金加在一起作为下一期的本金)约定每期利率为5%，已知若存期为 ，本息和为5.5万元，若存期为 ，本息和为5.8万元，则存期为 时，本息和为（ ）(单位：万元) A．11.3 B．6.52 C．6.38 D．6.3 3．（2020·全国高三专题练习（理））某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x的计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款（ ） A． B． C． D． 4．（2021·云南曲靖市·（理））杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是 A．153 B．171 C．190 D．210 5．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2021·河南高三月考（理））古希腊时期，人们把宽与长之比为 （ ）的矩形称为黄金矩形，把这个比值 称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形 ， ， ， ， ， 均为黄金矩形，若 与 间的距离超过 ， 与 间的距离小于 ，则该古建筑中 与 间的距离可能是（ ） （参考数据： ， ， ， ， ， ） A． B． C． D． 7．（2020·全国高三专题练习（理））某县2019年12月末人口总数为57万，假如从2020年元月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2020年12月末为止人口总数为57.24万，则2020年10月末的人口总数为（ ） A．57.1万 B．57.2万 C．57.22万 D．57.23万 8．（2020·全国高三专题练