考点16 等比数列及其前n项和-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点16 等比数列及其前n项和 1．（2020·全国高考真题（理））数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于 的等式，由 可求得 的值. 【详解】 在等式 中，令 ，可得 ， ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ， ， ，则 ，解得 . 故选：C. 【点睛】 本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 2．（2019·全国高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则 A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】 利用方程思想列出关于 的方程组，求出 ，再利用通项公式即可求得 的值． 【详解】 设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ， 解得 ， ，故选C． 【点睛】 本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键． 对于数列通项公式的求解，根据数列递推公式的特点，有以下几种构造方法． 构造法1　一阶线性递推(形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型) (1)若p＝1，数列{an}为等差数列； (2)若q＝0，数列{an}为等比数列； (3)若p≠1且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 构造法2　二阶线性递推(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型) 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}． 构造法3　倒数为特殊数列eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(形如an＋1＝\f(pan,ran＋s)型)) 两边同时取倒数转化为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(s,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出eq \f(1,an)的表达式，再求an. 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.)) 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aeq \o\al(2,p). (3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (5)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))则等比数列{an}递增． 若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))则等比数列{an}递减． 1．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列 的前 项和为 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2019·福建省永春第一中学高三其他模拟（理））记 为等差数列 的前 项和，公差 ， 、 、 成等比数列，则 （ ） A． B． C． D． 4．（2021·山东高三其他模拟）已知等比数列 为递增数列， ，数列 满足 ，则 （ ） A．40 B．55 C．35 D．60 5．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知数列 为等比数列，给出下列结论： ① ； ②若 ， ，则 ； ③当