考点15 等差数列及其前n项和-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点15 等差数列及其前n项和 1．（2021·全国高考真题（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ． （1）证明：数列 是等差数列; （2）求 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得 ,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列; （2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 . 【详解】 （1）由已知 得 ,且 ， , 取 ,由 得 , 由于 为数列 的前n项积， 所以 , 所以 ， 所以 , 由于 所以 ，即 ,其中 所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， , , 当n=1时， , 当n≥2时, ,显然对于n=1不成立, ∴ . 【点睛】 本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由 ,得到 ，进而得到 是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法. 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． 2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 3.判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． (2)等差中项 若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2). 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2). 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列． 1．（2019·吉林高三其他模拟（理））设 为等差数列 的前 项和，若 ，且 ，则 EMBED Equation.DSMT4 （ ） A．45 B．55 C．81 D．100 2．（2019·安徽高三其他模拟（理））等差数列 ､ 前 项和分别为 与 ，且 ，则 （ ） A． B． C．1 D． 3．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．（2021·全国高三其他模拟（理））对于 有如下4个数列：（1） ；（2） （3） （4） ．其中满足条件 的个数为（ ） A． B．2 C．3 D．4 5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D．5 6．（2021·辽宁高三其他模拟）等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ） A． B． C．10 D． 7．（2021·山西高三三模（理））《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为（ ） A．1055里 B．1146里 C．1510里 D．1692里 8．（2021·四川绵阳市·广安中学高三其他模拟（理））已知等差数列 的前 项和为