考点20 直线、平面平行的判定及其性质-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点微专题

考点20 直线、平面平行的判定及其性质 1．（2020·全国高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F． （1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证 ，要证平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，只需证明 平面 即可； （2）根据已知条件求得 和 到 的距离，根据椎体体积公式，即可求得 . 【详解】 （1） EMBED Equation.DSMT4 分别为 ， 的中点， 又 在等边 中， 为 中点，则 又 侧面 为矩形， 由 ， 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 又 EMBED Equation.DSMT4 ，且 平面 ， 平面 ， 平面 又 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，且平面 平面 又 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 平面 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 （2）过 作 垂线，交点为 ， 画出图形，如图 EMBED Equation.DSMT4 平面 平面 ，平面 平面 又 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 为 的中心. EMBED Equation.DSMT4 故： ，则 ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 又 在等边 中 即 由（1）知，四边形 为梯形 四边形 的面积为： ， 为 到 的距离 ， EMBED Equation.DSMT4 . 【点睛】 本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 1.判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点)． ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 3.证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a⊂α,l⊄α))⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b 3.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 1．（2021·河北高三其他模拟）已知 是两个不同的平面，m，n是平面 和 之外的两条不同的直线，且 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2021·浙江高三其他模拟）已知直线 和平面 ，则下列结论一定成立的是（ ）