考点17 基本不等式-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点微专题

考点17 基本不等式 1．（2020·全国高考真题（文））设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【分析】 （1）由 结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设 ，由题意得出 ，由 ，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】 （1） ， . 均不为 ，则 ， ； （2）不妨设 ， 由 可知， ， ， . 当且仅当 时，取等号， ，即 . 【点睛】 本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题. 运用基本不等式求最值时，要注意： 一是各项或因式为正值，二是和或积为定值，三是各项或因式能相等。 即“一正、二定、三相等”。这三个条件缺一不可。 1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)． (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)． (4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大) 1．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（文））下列命题中，真命题是（ ） A．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题是真命题 B．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0” C．“x>1”是“x2>1”的必要不充分条件 D．对任意x∈R，ex+e-x≥2 2．（2020·石家庄市藁城区第一中学高三其他模拟（文））若直线 （ ， ）被圆 截得弦长为 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·全国高三月考（文））若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函数 ， 恒过定点 ，过定点 的直线 与坐标轴的正半轴相交，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））直四棱柱 的底面是菱形，其侧面积是 ，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（2020·河北高三其他模拟（文））在如图所示的直三棱柱 中， ， ，过点 作平面 分别交棱 ， 于点 ， ，且 ， ，则截面 面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（文））已知直线 恒过定点 ，点 也在直线 上，其中 ， 均为正数，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．6 8．（2021·四川成都市·石室中学高三一模（文））设函数 ， ，其中 为自然对数的底数，若存在实数 ，使得 成立，则实数 值为（ ） A． B． C． D． 9．（2021·全国高三其他模拟）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知圆 与圆 ( 是正实数)相交于 两点， 为坐标原点.当 的面积最大时，则 的最小值是（ ） A． B．8 C．7 D． 11．（2021·全国高三月考（文））如图所示的三棱锥 ， 平面 ， ，若 ， ， ， ，当 取最大值时，点 到平面 的距离为（ ） A． B． C． D．5 12．（2021·内蒙古包头市·高三二模（文））在 中，已知 ， ，则 周长的最大值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 13．（2021·湖南高三其他模拟）已知P是圆 外一点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.则 的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 14．（2021·贵州高三其他模拟（文））已知函数 ，有如下四个结论： ①函数 的图象关于点 对称