专题14 二次函数解答压轴题（共32题）-2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期） 专题14二次函数解答压轴题（共32题） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、解答题 1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】 （1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； （2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】 解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为； （2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得： ①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾； ②当时， ∵抛物线始终过定点， ∴此时抛物线的对称轴的范围为， ∵点在该抛物线上， ∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为， ∵，开口向上， ∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ∴． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数的图像经过两点． （1）求b的值． （2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________． （3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）；（2）1；（3）或． 【分析】 （1）将点代入求解即可得； （2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； （3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】 解：（1）将点代入得：， 两式相减得：， 解得； （2）由题意得：， 由（1）得：， 则此函数的顶点的纵坐标为， 将点代入得：， 解得， 则， 下面证明对于任意的两个正数，都有， ， （当且仅当时，等号成立）， 当时，， 则（当且仅当，即时，等号成立）， 即， 故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1； （3）由得：， 则二次函数的解析式为， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时，则当时，；当时，， 即， 解得； ②如图，当时， 当时，， 当时，， 解得， 综上，的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键． 3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】 （1）根据对称轴，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果 （3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论 【详解】 解：（1）由题意得： （2）抛物线对称轴为直线，且 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． 当时，y1随x1的增大而减小， 时，，时， 同理：时，y2随x2的增大而增大 时，． 时， （3）令 令 AB与CD的比值为 【点睛】 本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点 4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上． （1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）． （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）利用杯深 CD′ 与杯高 OD′ 之比为0.6，求出OD′ ，接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解． 【详解】 解：（1）设， ∵杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ， ∴ 将，代入，得， ． （2）， ， ，， 当时，， 或， ， 即杯口直径的长为． 【点睛】 本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本