考向11 对数与对数函数（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向11 对数与对数函数 1．（2020·海南高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可. 【详解】 由 得 或 所以 的定义域为 因为 在 上单调递增 所以 在 上单调递增 所以 故选：D 【点睛】 在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 2．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【分析】 将 代入函数 结合 求得 即可得解. 【详解】 ，所以 ，则 ， 所以， ，解得 . 故选：C. 【点睛】 本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线． 5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 6. 比较对数值的大小 （1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较 （2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较 （3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤： (1)求出函数的定义域； (2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论； (3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq \f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq \f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝eq \f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 【知识拓展】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝eq \f(1,logba)；(2)logambn＝eq \f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限. 1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 2．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 4．（2021·广东茂名市·高三二模）（多选题）已知函数 若函数