考向10 指数与指数函数（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向10 指数与指数函数 1．（2020·全国高考真题（文））设 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】 由 可得 ，所以 ， 所以有 ， 故选：B. 【点睛】 本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．（2015·山东高考真题（理））已知函数 的定义域和值域都是 ，则 _____________. 【答案】 【详解】 若 ，则 在 上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则 在 上为减函数,所以 ，解得 ，所以 . 考点：指数函数的性质. 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 4.有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小； 6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解； 7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。 1.根式 (1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【知识拓展】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))). 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 3.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域 形如 的函数的定义域就是 的定义域． 求形如 的函数的值域，应先求出 的值域，再由单调性求出 的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论． 求形如 的函数的值域，要先求出 的值域，再结合 的性质确定出 的值域． (2)判断复合函数 的单调性 令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数 与 的单调性相同，那么复合后的函数 在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数 在[m，n]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性 一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子 与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性． 二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性． 1．（2021·全国高三其他模拟）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸