课时分层作业9 充要条件-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(九)　充要条件 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.] 2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当a＝3时，A＝{1，3}，所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，a＝3或a＝2，所以A⊆B，推不出a＝3.故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选A.] 3．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B.] 4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0　　　 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 D　[a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.] 5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 C　[|x＋y|＝|x|＋|y| ⇔|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2 ⇔xy＝|x|·|y| ⇔xy≥0.] 二、填空题 6．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”，这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________条件(将正确的序号填在横线上). ①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件． ①　[由题意知，“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①.] 7．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． {m|m＞3}　[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x< eq \f(1,2)(m＋3)，由p是q的充分不必要条件知 {x|x<3} eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)（m＋3）))))， 所以 eq \f(1,2)(m＋3)＞3，解得m＞3.] 8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________． 乙　[对于图甲，开关S1闭合灯泡L亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合， ∴A是B的充分不必要条件． 对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合， ∴A是B的充要条件． 对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合， ∴A是B的必要不充分条件． 对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系， ∴A是B的既不充分也不必要条件．] 三、解答题 9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解]　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0； 若方程有两个负的实根， 则必须满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)＜0，,Δ＝1－4a≥0))⇒0＜a≤ eq \f(1,4). 综上，若方程至少有一个负实根，则a≤ eq \f(1,4). 反之，若a≤ eq \f(1,4)，则方程至少有一个负实根． 因此关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一负实根的充要条件是a≤ eq \f(1,4). 10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [证明]　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0， ∴方程一定有两个不等实根，设为x1，x2， 则x1x2＝ eq \f(c,a)<0， ∴方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0) ∵方程有一正根和一负根，设为x1，x2， 则由根与系数的关系得x1x2＝ eq \f(c,a)<0，即ac<0. 综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 11．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，