第06讲函数及其表示 （考点精讲）-备考2022年高考数学一轮复习之考点精讲练（新高考地区专用）

备考2022年高考高三数学复习之考点精讲 第6讲 函数及其表示 【知识点梳理】 1．函数与映射 函数 映射 两集合A，B 设A，B是非空的数集 设A，B是非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应fA→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域． (3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域. 值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交. 【考点精讲】 考点一： 函数的概念、三要素 例1、函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 要使函数有意义，令，解出得范围，可得定义域． 【详解】 要使函数有意义，则解得. 所以函数的定义域为. 故选：B 例2．（2019·全国高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据同一函数的定义对四个选项中的两个函数进行比较即可. 【详解】 选项A:函数的定义域是，函数的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 选项B:函数的定义域是，函数的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项C: 函数的定义域是,函数的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项D:函数和的定义域都是全体实数，且，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D. 【点睛】 本题考查了同一函数的识别，正确求出函数的定义域、判断对应关系是否相同是解题的关键. 变式训练1-1.（2021·全国高三专题练习）函数的定义域为______ 【答案】 【分析】 根据偶次方根的被开方数为非负数，有，结合的图像可得时，的范围，由此求得函数的定义域. 【详解】 要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0． 利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，， 再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为 ． 【点睛】 本小题主要考查函数的定义域，考查正弦函数和余弦函数的图像与性质，属于基础题. 变式训练1-2．（2019·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】 利用相等函数的定义对每一个选项的两个函数分析判断得解. 【详解】 当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，两个函数才是同一函数. A. 的定义域是R，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数； B. ，，两个函数的定义域显然不同，所以两个函数不是同一函数； C. ，，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数； D. 的定义域是R，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数. 故选：C 【点睛】 本题主要考查同一函数的定义和判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 考点二： 分段函数 例3．已知函数，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据自变量范围代入分段函数对应解析式，求得，再计算即为所求. 【详解】 , ， 又，， ， 故选：B. 【点睛】 本题考查根据分段函数求值，涉及指数对数运算，属基础题.关键在于从内到外的运算，注意分段函数的分段标准，注意对数的求值，一般地，. 例4．已知函数，若，则___________． 【答案】0