考向09 幂函数与二次函数（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向09 幂函数与二次函数 1．（2021·全国高考真题（理））设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】 设 ，由 ，因为 ， ，所以 ， 因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得 ，即 ； 当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 【点睛】 本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 2．（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【分析】 先求 ，再根据奇函数求 【详解】 ，因为 为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】 本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 1、根据图象高低判断幂指数大小的方法 幂函数的幂指数的大小,大都可通过幂函数的图象与直线 的交点纵坐标的大小反映．一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴． 2、对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c,若是二次函数,就隐含a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．②在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定开口大小),c确定抛物线在y轴上的截距,b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)． 3、根据二次函数单调性求参数范围,常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系,若二次函数在某区间上单调,则该区间在对称轴的一侧,若二次函数在某区间上不单调,则对称轴在该区间内（非端点）, 4、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2．二次函数的概念 形如 的函数叫做二次函数. 3．表示形式 (1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标. (3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 4.幂函数y=xα的图象与性质 ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 5.二次函数的图象与性质 函数解析式 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称性 函数图象关于直线 对称 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在 上是减函数； 在 上是增函数. 在 上是增函数； 在 上是减函数. 最值 当 时， 当 时， 【知识拓展】 1．幂函数的单调性 当α>0时幂函数 在(0,＋∞)上单调递增；(2)当α<0时,幂函数 在(0,＋∞)上单调递减．f(x)<0( ). 2．幂函数的奇偶性 形如y＝ 或y＝ (m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断 当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数；