考点12 三角恒等变换-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点12 三角恒等变换 1．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）（ ） A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【分析】 通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案． 【详解】 过 作 ，过 作 ， 故 ， 由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ． 所以 ． 因为 ，所以 在 中，由正弦定理得： ， 而 ， 所以 ， 所以 ． 故选：B． 【点睛】 本题关键点在于如何正确将 的长度通过作辅助线的方式转化为 ． (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．. 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β). 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). 3．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2eq \f(α,2),1＋cos α＝2cos2eq \f(α,2).(升幂公式) (2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)±cos \f(α,2)))2.(升幂公式) (3)sin2α＝eq \f(1－cos 2α,2)，cos2α＝eq \f(1＋cos 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cos 2α,1＋cos 2α).(降幂公式) (4)asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cos φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).(辅助角公式) 1．（2022·河南高三月考（理））若 ，且 ，则 （ ） A．-7 B． C． D．-7或 2．（2021·河南高三其他模拟（理））已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））若点 在角 的终边上，则 （ ） A． B． C． D． 4．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知点 是角 的终边与单位圆的交点，则 （ ） A． B． C． D． 5．（2021·四川成都市·双流中学高三三模（理））在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 6．（2021·浙江高三其他模拟）“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2021·四川高三月考（理））函数 的图象在 上恰有两个极大值点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（2021·辽宁高三月考）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ，若 能盖住的最大圆面积为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（理）） 的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足 ， ， ，D为边 上一点满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 10．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.“黄金三角形”有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的“黄金三角形”被认为