第1章 1.4 充分条件与必要条件-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

1.4　充分条件与必要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养. 　观察如图所示电路图，条件p：“开关A闭合”，结论q：“灯泡B亮”． 问题：(1)当开关A闭合时，灯泡B一定会亮吗？说明了什么？ (2)如果“灯泡B”不亮，“开关A可以闭合”吗？ 提示：(1)一定会亮，说明要使“灯泡B亮”，有“开关A闭合”这个条件就可以． (2)如果“灯泡B不亮”，则开关A肯定不闭合． 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价． 2．充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　) (2)q不是p的必要条件时，“pq”成立． (　　) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．] 3．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，同位角相等”都是真命题．] 4．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的________条件． 必要不充分　[全等的两个三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等．] 充分条件、必要条件的判断 【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． (3)p：a＞b，q：ac＞bc. [解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b， 故p是q的既不充分也不必要条件． 定义法判断充分条件、必要条件 (1(确定谁是条件，谁是结论. (2(尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件. (3(尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. eq \o([跟进训练]) 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件． (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. [解]　(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等， 所以p是q的既不充分也不必要条件． (2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件． 充分条件、必要