第12讲 ：绝对值不等式知识点与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第12讲：绝对值不等式知识点与典型例题（解析版）   绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；（2）平方法；（3）零点区域法。常见的形式有以下几种。   1. 形如不等式： 利用绝对值的定义得不等式的解集为： 。在数轴上的表示如图1。   2. 形如不等式： 它的解集为：。在数轴上的表示如图2。   3. 形如不等式 它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质来得解集。   4. 形如 它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质求出原不等式的解集。 例如：解不等式： （1） （2） （3） 解：（1）由绝对值的定义得：或 解得 （2）两边同时平方得： （3）令 得。 所以和3把实数分为三个区间， 即：；。 在这三个区间内来讨论原不等式的解集。 以上所举例子，说明在运用上述方法求绝对值不等式的解集时，如能根据已知条件灵活地运用绝对值不等式的常见形式，不仅可以简化运算、简便地求出它的解集，而且有利于培养学生思维灵活性。因为题是活的，用既得方法去解决具体的问题，还得有灵活多变的大脑，让学生自己去体会数学方法的有效和巧妙，这样才能行万里船、走万里路时，轻松如意。 提升训练 1．求下列绝对值不等式的解集： （1） （2） . 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）原不等式等价于 ，再根据绝对值的几何意义解答； （2）原不等式等价于 ，再根据绝对值的几何意义解答； 【详解】 解：（1）原不等式等价于 ，即 或 ，解得 或 ，所以不等式的解集为 . （2）原不等式等价于 ，即 或 ，解得 或 . 综上，所求不等式的解集为 . 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 2．求下列绝对值不等式的解集： （1） （2） ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）根据绝对值的几何意义解答； （2）根据绝对值的几何意义解答； 【详解】 解：（1） 又根据绝对值的几何意义知 故原不等式无解，解集为 （2） 又根据绝对值的几何意义知 故原不等式的解集为： 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 3．求下列绝对值不等式的解集： （1） （2） ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）根据绝对值的几何意义解答； （2）根据绝对值的几何意义解答； 【详解】 解：（1） ， 或 解得 或 ， 所以原不等式的解集为 ． （2）由原不等式可得 ，即 ，解得 ， 所以原不等式的解集为 ． 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解，属于基础题. 4．求下列不等式的解集. （1） ； （2） . 【答案】（1） ；（2） 或 【分析】 （1）由 ，解不等式即可. （2）由 或 ，解不等式即可. 【详解】 （1） ，解得： . （2） 或 ， 解得： 或 . 【点睛】 本题第一问，第二问主要考查绝对值不等式的解法，属于简单题. 5．解不等式组 . 【答案】 【分析】 分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集. 【详解】 解不等式 ，即 或 ，解得 或 . 解不等式 ，即 ，解得 . 因此，不等式组 的解集为 . 【点睛】 本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 6．根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x). (1) ；(2) 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【分析】 （1）对 去绝对值，求出x的范围，并在数轴上画出； （2）对 去绝对值，求出x的范围，并在数轴上画出. 【详解】 【解】(1)∵ ，∴ . ∴点P(x)表示坐标为-1和3的两点A，B间的线段AB(包括两个端点)，画图如下. (2)∵ ，∴ 或 . ∴点P(x)表示以坐标为-3和-1的两点C，D为端点的两条射线CE，DF，画图如下. 【点睛】 本题考查数轴上的点与实数的对应关系，是基础题. 7．若不等式 的解是 ，求a，b的值. 【答案】 ， 【分析】 化简 为 ，讨论 的符号分情况进行求解. 【详解】 因为不等式 的解是 ，所以必有 . ，即 . 分两种情况进行讨论： ①当 时， ， ， 解方程组，得 .不符合题意，故舍去. ②当 时， ， . 解方程组，得 . 综上， ， . 【点睛】 本题主要考查含有绝对值不等式的解法，根据解集求解参数时，注意 的系数对不等式解集的影响，侧重考查数学运算的核心素养. 8．设 时，不等式 成立，求正数a的取值范围. 【答案】 【分析】 先求出 的解的集合 ， 的解集 ，由题应有 ,求出 的范围. 【详解】 设集合 . 集合 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 ， 如图所示. 由题意知 ， 或 ， 解不等式组