专题15 选修4-4坐标系与参数方程-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题15 坐标系与参数方程 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1． （1）写出的一个参数方程; （2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【答案】（1），（为参数）；（2）或. 【分析】（1）由题意，的普通方程为， 所以的参数方程为，（为参数） （2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于1可得， 解得，所以切线方程为或， 将，代入化简得 或 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点． 【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点. 【分析】（1）由曲线C的极坐标方程可得， 将代入可得，即， 即曲线C的直角坐标方程为； （2）设，设 ， ， 则，即， 故P的轨迹的参数方程为（为参数） 曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2， 则圆心距为，，两圆内含， 故曲线C与没有公共点. 3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为； （2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点， 不妨直线的方程为，即， 联立，消去并整理可得， 设点、，则且. 由韦达定理可得，， 所以，， 设直线的斜率为，同理可得， 因为，即，整理可得， 即，显然，故. 因此，直线与直线的斜率之和为. 【2012年——2020年】 1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）当时，是什么曲线？ （2）当时，求与的公共点的直角坐标． 【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）. 【分析】（1）当时，曲线的参数方程为为参数）， 两式平方相加得， 所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆； （2）当时，曲线的参数方程为为参数）， 所以，曲线的参数方程化为为参数）， 两式相加得曲线方程为， 得，平方得， 曲线的极坐标方程为， 曲线直角坐标方程为， 联立方程， 整理得，解得或 （舍去）， ，公共点的直角坐标为 . 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）. （1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程. 【答案】（1）；；（2）. 【分析】（1）由得的普通方程为：； 由得：，两式作差可得的普通方程为：. （2）由得：，即； 设所求圆圆心的直角坐标为，其中， 则，解得：，所求圆的半径， 所求圆的直角坐标方程为：，即， 所求圆的极坐标方程为. 3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点. （1）求||： （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）令，则，解得或（舍），则，即. 令，则，解得或（舍），则，即. ； （2）由（1）可知， 则直线的方程为，即. 由可得，直线的极坐标方程为. 4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）由得：，又 整理可得的直角坐标方程为： 又， 的直角坐标方程为： （2）设上点的坐标为： 则上的点到直线的距离 当时，取最小值 则 5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P. （1）当时，求及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 【答案】（1），l