第10讲 ：一元二次不等式知识点与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第10讲 一元二次不等式知识点与典型例题（解析版） 【知识要点】 1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，称为一元二次不式. 2、一元二次不等式的解法步骤： 一元二次不等式 的解集： 设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表： 一元二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 口诀：大于取两边，小于取中间 3、 解一元二次不等式的基本步骤： 整理系数，使最高次项的系数为正数； 尝试用“十字相乘法”分解因式； 计算 结合二次函数的图象特征写出解集。   解一元二次不等式的步骤： ① 将二次项系数化为“+”：A=>0（或<0）（a>0） ② 计算判别式，分析不等式的解的情况： ⅰ. >0时，求根<， ⅱ. =0时，求根＝＝， ⅲ. <0时，方程无解， ③ 写出解集。 【典型例题】 例1. 解不等式 （1）     （2）    （3） 解：（1）因为。 所以，原不等式的解集是。 （2）因为。 所以，原不等式的解集是。 （3）整理，得。 因为无实数解， 所以不等式的解集是。 从而，原不等式的解集是。   例2. 解关于x的不等式 分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。 解： （1）当有两个不相等的实根。 所以不等式的解集是： （2）当有两个相等的实根， 所以不等式，即； （3）当无实根 所以不等式解集为。   例3. 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。 解：∵  （∵4x2+6x+3恒正）， ∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k>0对x取任何实数均成立。 ∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）<0k2－4k+3<01<k<3。 ∴k的取值范围是（1，3）。 小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分   例4. 已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－1<0的解集为R，求a的取值范围。 分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0。 解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须， 即 a<－。 ∴a的取值范围是a∈（－，－）。 说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。（想想为什么？）   例5. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。 （1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。 （2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围 。 命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题。 技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。 解：（1）条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得 ∴。 （2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组 : 训练提升 一、单选题 1．不等式 的解集为（ ） A． 或 B． C． 或 D． 【答案】B 【分析】 由 可得 异号，分类讨论解不等式组可得答案. 【详解】 因为 ， 所以 或 ， 解得 或 ， 综上可得，不等式 的解集为 ， 故选：B. 2．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式解法即可得结果. 【详解】 由 得 解得 故先：A 3．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据无理不等式的解法列出不等式组解之可得答案. 【详解】 由题意得 ，解得 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查无理不等式的解法，对于 型，可以转化为 去解，考查了学生的计算能力. 4．已知不等式 的解集为 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用判别式小于等于零列不等式求解即可. 【详解】 因为不等式 的解集为 所以 ， 解得 ， 所以 的取值范围是 ， 故选：A. 5．已知函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数 在区间 上是减函数，由 求解. 【详解】 因为函数 在区间 上是减函数， 所以 ，解得 ， 所以实数a的取值范围是 . 故选：A 6．在 上的定义运算 ，则满足 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据运算的定义可得关于 的不等式，从而可求