第08讲 ：二次函数知识点与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第08讲 二次函数知识点与典型例题（解析版） · 基础知识 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－eq \f(b,2a)的值决定图象对称轴的位置； (3)c的取值决定图象与y轴的交点； (4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数． 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)　 f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)　　 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 单调性 在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增；在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))) 对称性 图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)成轴对称图形 · 常用结论 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]． (1)当－eq \f(b,2a)≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m<－eq \f(b,2a)≤eq \f(m＋n,2)时，最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))，最大值为f(n)； (3)当eq \f(m＋n,2)<－eq \f(b,2a)≤n时，最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))，最大值为f(m)； (4)当－eq \f(b,2a)>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． eq \a\vs4\al(考点一　求二次函数的解析式) 求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. [典例]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解]　法一：利用二次函数的一般式 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) 故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2). ∴m＝eq \f(1,2)，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8. ∵f(2)＝－1，∴aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：利用零点式 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，即eq \f(4a－2a－1－a2,4a)＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. eq \a\vs4\al(考点二　二次函数