第05讲 ：二次根式知识点与常见题型-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第05讲：二次根式知识点与常见题型（解析版） 一、二次根式的定义 形如 （≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号, 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“ ”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如 （ ≥0）的式子也是二次根式,其中 叫做二次根式的系数,它表示的是: （ ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式 与 都有意义,则有 . 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性: ≥0, ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: （ ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性: .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若 ,则 . 应用与书写规范:∵ , ≥0, ≥0, ≥0 ∴ . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） ;主要用于二次根式的化简. （3） ,其中 ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4） ,其中 ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 在实数范围内有意义,则 的取值范围是_________. 例2. 若 为实数,且 ,化简: . 例3. 若 ,则 的值等于 【 】 （A） （B）0 （C）1 （D）2 例4. 无论 取任何实数,代数式 都有意义,则 的取值范围是__________. 例5. 已知 是△ABC的三边长,并且满足 ,试判断△ABC的形状. 例6. 已知 在数轴上的位置如图（2）所示,化简: . 例7. 把 中根号外的因式移到根号内,结果是 【 】 （A） （B） （C） （D） 三、二次根式的乘法 一般地,有: （ ≥0, ≥0） （1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件: ≥0, ≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数; （2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算; （3）两个带系数的二次根式的乘法为: （ ≥0, ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有: （ ≥0, ≥0） 公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变. 例8 若 成立,则 【 】 （A） ≥6 （B）0≤ ≤6 （C） ≥0 （D） 为任意实数 9 若 成立,则 的取值范围是__________. 四、二次根式的除法 一般地,有: （ ≥0, ） （1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算; （3）二次根式的除法公式可写为: （ ≥0, ）; （4）二次根式的除法公式可逆用,即有: （ ≥0, ） 公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式 符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; （2）被开方数中不含有分母或小数. 注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式. 六、分母有理化 把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对 进行分母有理化,过程为: ;对 进行分母有理化,过程为: . 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的. 例10. 计算: （1） ; （2） ; （3） . 例11. 化简: （1） ; （2） ; （3） （ ）. 二次根式的乘除混合运算 例12. 计算: （1） ; （2） . 七、同类二次根式 如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法: （1）先化简二次根式; （2）看被开方数是否相同; （3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是. 同类二次根式的合并方法: 几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变. 八、二次根式的加减 二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.