第02讲 ：一元二次方程与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第02讲 一元二次方程与典型例题（原卷版） 1） 一元二次方程的定义 是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 这三个方程都是一元二次方程。求根公式为 二） 。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、 当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根. 4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）; 5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根; 6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为 7、当a、b、c是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。 8、若 , 是一元二次方程 的两个实数根， 即① （注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足 Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。） ②一元二次方程 可变形为 的形式。可以用求根公式法分解二次三项式。 9、以两个数x1 x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（x1+ x2）x+ x1 x2＝0 10几种常见的关于 的对称式的恒等变形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0，这样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得多）。 十字相乘法的口诀是：右竖乘等于常数项，左竖乘等于二次项系数，对角积之和等于一次项系数。三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）。 解下面一道一元二次方程x2-110x+2925=0 1 -65 1 -45 -65 -45= -110 四）Δ与根的关系的综合运用（ax2+bx+c=0, a≠0） ax2+bx+c=0, (a>0) Δ>0 有两个不相等的实数根 C>0 两根同号 b>0 有两个负根不相等 b<0 有两个正根不相等 C< 0 两根异号 b>0 负根绝对值较大(正根绝对值较小) b<0 正根绝对值较大(负根绝对值较小) b =0 两根绝对值相等 C=0 一根为零 b>0 一根为0另一个根为负根 b<0 一根为0另一个根为正根 Δ=0 有两个相等的实数根 b>0 有两个相等的负根 b<0 有两个相等的正根 b =0 有两个相等的根都为0 注：凡是题中出现了x1.x2< 0；或 ；或a、c异号就能确保 >0 即a、c异号方程必有解。 六）解一元二次方程中的应用 直接开平方法：用简明图表可表示为： 直接开平方法：形如（mx+n）2=p (m≠0,p≥0) 两个一元一次方程。 配方法：用简明图表可表示为： 配方法：一元二次方程 形如（mx+n）2=p (m≠0,p≥0)的方程 因式分解法：用简明图表可表示为： 因式分解法：一元二次方程 EMBED Equation.3 两个一元一次方程 公式法：x1，x2 一元二次方程应用题部分 一、列方程解应用题的一般步骤是 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位； 3.列:列代数式,列方程； 4.解:解所列的方程； 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意； 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 注：列方程解应用题的关键是: 找出等量关系；所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数（字母）表示，根据题目中提供的条件列出两个代数式，这两个代数式表示同一个量（这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数），用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。 二、《一元二次方程》，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型： 求互相联系的两数(数与数字方面的应用题)： 例：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。 四）银行利率应用题（含利滚利问题）： 年利息＝本金×年利率（年利率为a%） 存一年的本息和：本金×（1+年利率） ，即本金×（1+ a%） 五）销售利润方案类题（含薄利多销问题及价格与销量问题） 六）函数与方程 七）信息题 八）背景题 九）古诗题 十）象棋比赛题 十一）几何类题：①等积变形，②动态几何问题，③梯子问题，④航海问题，⑤几何与图表信息，⑥探索存在问题，⑦平分几何图形的周长与面积积问题，⑧利用图形探索规律 最常见的如：求直角三角形的边。 例：一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是