第01讲：因式分解知识点与典型例题-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

第01讲 因式分解知识点与典型例题（解析版） 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把 ，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式 是 除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 例1，x3+2x2-1 解析：x3+2x2-1 将2x2拆分成x2+x2 =x3+x2+x2-1 =（x3+x2）+（x2-1） =x2（x+1）+（x+1）（x-1） 提取公因式（x+1） =（x+1）[x2+（x-1）] =（x+1）(x2+x-1) 例2：4x2+4x-4y2+1 解析：4x2+4x-4y2+1 将 -4y2 与 +1 位置互换 =4x2+4x+1-4y2 =（4x2+4x+1）-4y2 =（2x+1)2-4y2 =[（2x+1)+2y][（2x+1)-2y] =(2x+2y+1)(2x-2y+1) 例3：3x+xy-y-3 解析：3x+xy-y-3 将前两项结合，后两项结合 =（3x+xy）+（-y-3） = x（3+y）-（y+3） 提取公因式（y+3） =（y+3）（x-1） 例4：3x3+5x2-2 解析：3x3+5x2-2 将5x2拆分成3x2+2x2 =3x3+3x2+2x2-2 =（3x3+3x2）+（2x2-2） =3x2（x+1）+2（x2-1） =3x2（x+1）+2（x+1）（x-1） 提取公因式（x+1） =（x+1）[3x2+2（x-1）] =（x+1）（3x2+2x-2） （2）公式法： ①常用公式 平方差： 完全平方： ②常见的两个二项式幂的变号规律： ； ．（ 为正整数） 例5．把下列各式进行因式分解： （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）直接利用平方差公式分解； （2）先提公因式x，再利用完全平方公式分解． 【详解】 解：（1） = ； （2） = = 【点睛】 本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． 例6（1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）直接利用平方差公式分解； （2）先提公因式x，再利用完全平方公式分解． 【详解】 解：（1） = ； （2） = = 【点睛】 本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式 中，如果能把常数项 分解成两个因式 的积，并且 等于一次项系数中 ，那么它就可以分解成 ②二次项系数不为1的二次三项式 中，如果能把二次项系数 分解成两个因数 的积，把常数项 分解成两个因数 的积，并且 等于一次项系数 ，那么它就可以分解成： EMBED Equation.3 。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如 没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如 = ， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 例7：3x2－2xy－8y2 【详细讲解十字叉乘法】 用十字叉乘法，用逐一罗列 （1）3x2只能拆分成3x与x的乘积， （2）-8y2，可拆分成 ①-8y与y的乘积 ② 8y与-y的乘积 ③ -4y与2y的乘积 ④ 4y与-2y的乘积 逐一尝试，看哪一组结果是 －2xy （1） 3X -8y X y 3xy-8xy=-5xy（结果不是－2xy，舍去） （2） 3X y X -8y -24xy+xy=-23xy（结果不是－2xy，舍去） （3） 3X 8y X -y -3xy+8xy=5xy（结果不是－2xy，舍去） （4）