第1章 4.2 一元二次不等式及其解法-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

4.2　一元二次不等式及其解法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握图象法解一元二次不等式．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 1. 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养． 2. 通过一元二次不等式的应用，培养逻辑推理素养． 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫作一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作一元二次不等式的解集． 3．一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系 如下表： 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 思考：1.关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？ 提示： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0,c>0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,b2－4ac<0)) . 2．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅，a，b，c满足的条件是什么？ 提示： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0,c≤0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0,b2－4ac≤0)) . 1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1，2) D　[∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2. 故原不等式的解集为(1，2).] 2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝(　　) A．{x|－7<x<－5} B．{x|3<x<5} C．{x|－5<x<3} D．{x|－7<x<5} C　[S＝{x|－5<x<5}，T＝{x|－7<x<3}， ∴S∩T＝{x|－5<x<3}．] 3．不等式2x2－x－1＞0的解集是________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))　[∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－ eq \f(1,2). 故原不等式的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞)).] 4．不等式(a＋1)x2＋ax＋a>0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． [解]　当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式化为－x－1>0，得x<－1，不合题意； 当a＋1≠0时，由题意， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,Δ＝a2－4a（a＋1）<0))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>－1,a>0或a<－\f(4,3)))⇒a>0. 故实数a的取值范围为(0，＋∞). 一元二次不等式的解法 角度一　二次项系数大于0 【例1】　解不等式3x2＋5x－2>0. [思路点拨]　先解方程，得不等式解集的端点；再画图象，确定不等式解集的结构，是取“两边”还是取“中间”． [解]　方程3x2＋5x－2＝0的两解是x1＝－2，x2＝ eq \f(1,3). 函数y＝3x2＋5x－2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2，0)和( eq \f(1,3)，0).观察图象(右图)可得， 不等式的解集为{x|x<－2，或x> eq \f(1,3)}． 角度二　二次项系数小于0 【例2】　解不等式－2x2＋3x＋2≤0. [思路点拨]　把二次项系数化为正是求解的关键． [解]　原不等式化为2x2－3x－2≥0，∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－ eq \f(1,2)，x2＝2，且a＝2>0， ∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是{x|x≤－ eq \f(1,2)或x≥2}．即原不等式的解集是{x|x≤－ eq \f(1,2)或x≥2}． 一元二次不