第一章 4.2 一元二次不等式及其解法（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

4.2　一元二次不等式及其解法 课标要求 素养要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 从函数观点认识不等式，感悟三个二次间的关系，重点提升数学抽象和数学运算素养. 自主梳理 1.一元二次不等式的概念 一元二次不等式 定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式 表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法 (1)三个二次间的关系：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标：ax2＋bx＋c>0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应的x的取值集合；ax2＋bx＋c<0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应的x的取值集合. (2)在解一元二次不等式，应首先将二次项系数a转化为大于0的情况，然后借助于图象解决.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)mx2－5x>0是一元二次不等式.(×) 提示　当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式. (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.(×) 提示　因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R. (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}.(×) 提示　当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立. 2.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　B 解析　一定是一元二次不等式为②④. 3.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　原不等式可化为(3x＋1)2≤0， ∴3x＋1＝0，∴x＝－. 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x∈R)的部分对应值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是________. 答案　{x|x<－2，或x>3} 解析　y＝0时，x＝－2或3，∴对应方程的根为－2和3，又y随x的增加先减小后增加，∴a>0，结合函数图象，∴解集为{x|x<－2，或x>3}. 题型一　解一元二次不等式 【例1】　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. 解　(1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝. ，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为 (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝. .作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②，由图可得原不等式的解集为，x2＝ (3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝..作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图.由图可得原不等式的解集为 (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为. 思维升华　解一元二次不等式的一般步骤 第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ≤0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ>0，求出对应方程的根写出解集. 【训练1】　解下列不等式： (1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0； (3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x). 解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞6}. (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞2}.