专题08 正弦定理和余弦定理 -备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练

专题8 正弦定理和余弦定理 第一部分 近3年高考真题 一、选择题 1．（2021·全国高考真题（文））在 中，已知 ， ， ，则 （ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】设 ， 结合余弦定理： 可得： ， 即： ，解得： （ 舍去）， 故 . 故选：D. 2．（2021·全国高考真题（理））已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，由双曲线的定义可得 ， 所以 ， ； 因为 ,由余弦定理可得 ， 整理可得 ，所以 ，即 . 故选：A 3．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设 故选：C 4．已知椭圆C的焦点为 ，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ， ，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 中，由余弦定理推论得 ．在 中，由余弦定理得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选B． 法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 和 中，由余弦定理得 ，又 互补， ，两式消去 ，得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选B． 5. 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 二、填空题 6．（2020·江苏高考真题）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________． 【答案】 或0 【解析】∵ 三点共线， ∴可设 ， ∵ ， ∴ ，即 ， 若 且 ，则 三点共线， ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， ∵ , , ， ∴ ， 设 ， ，则 ， . ∴根据余弦定理可得 ， ， ∵ ， ∴ ，解得 ， ∴ 的长度为 . 当 时， ， 重合，此时 的长度为 ， 当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去. 故答案为：0或 . 7. 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为__________. 【答案】 【解析】由余弦定理得 ， 所以 ， 即 解得 （舍去） 所以 ， 8.在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点D，且 ，则 的最小值为________． 【答案】9 【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得 ，化简得 ，因此 当且仅当 时取等号，则 的最小值为 . 9.△ 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则△ 的面积为________． 【答案】 . 【解析】因为 ， 结合正弦定理可得 ， 可得 ，因为 ， 结合余弦定理 ，可得 ， 所以 为锐角，且 ，从而求得 ， 所以 的面积为 ，故答案是 . 三、解答题 10．（2021·北京高考真题）已知在 中， ， ． （1）求 的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度． ① ；②周长为 ；③面积为 ； 【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】（1） ，则由正弦定理可得 ， ， ， ， ， ，解得 ； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ， 与 矛盾，故这样的 不存在； 若选择②：由（1）可得 ， 设 的外接圆半径为 ， 则由正弦定理可得 ， ， 则周长 ， 解得 ，则 ， 由余弦定理可得 边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得 ，即 ， 则 ，解得 ， 则由余弦定理可得 边上的中线的长度为： . 11．（2021·全国高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， . （1）证明： ； （2）若 ，求 . 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）由题设， ，由正弦定理知： ，即 ， ∴ ，又 ， ∴ ，得证. （2）由题意知： ， ∴ ，同理 ， ∵ ， ∴ ，整理得 ，又 ， ∴ ，整理得 ，解得 或 ， 由余弦定理知： ， 当 时， 不合题意；当 时， ； 综上， . 12．（2020·北京高考真题）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ） 和 的面积． 条件①： ； 条件②： ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） , ； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） , . 【解析】选择条件①（Ⅰ） EMBED Equation.DSMT4 （Ⅱ） 由正弦定理得： 选择条件②（Ⅰ） 由正弦定理得： （Ⅱ） 13．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分