专题07 三角恒等变换 -备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练

专题7 三角恒等变换 第一部分 近3年高考真题 一、选择题 1．（2021·浙江高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，大于 的个数的最大值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】法1：由基本不等式有 ， 同理 ， ， 故 ， 故 不可能均大于 . 取 ， ， ， 则 ， 故三式中大于 的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设 ，则 ， 由排列不等式可得： ， 而 ， 故 不可能均大于 . 取 ， ， ， 则 ， 故三式中大于 的个数的最大值为2， 故选：C. 2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）（ ） A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【解析】 过 作 ，过 作 ， 故 ， 由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ． 所以 ． 因为 ，所以 在 中，由正弦定理得： ， 而 ， 所以 ， 所以 ． 故选：B． 3．（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 ， ， 令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 . 故选：D. 4．（2020·全国高考真题（文））已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得： ， 则： ， ， 从而有： ， 即 . 故选：B. 5.已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ． ，又 ， ，又 ， ，故选B． 6.已知函数 ，则（ ） A． 的最小正周期为 ，最大值为 B． 的最小正周期为 ，最大值为 C． 的最小正周期为 ，最大值为 D． 的最小正周期为 ，最大值为 【答案】B 【解析】根据题意有 ， 所以函数 的最小正周期为 ， 且最大值为 ，故选B. 7.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 三点共线，从而得到 ， 因为 ， 解得 ，即 ， 所以 ，故选B. 二、填空题 8．（2020·全国高考真题（文））若 ，则 __________． 【答案】 【解析】 . 故答案为： . 9．（2020·江苏高考真题）已知 = ，则 的值是____. 【答案】 【解析】 故答案为： 10．（2020·北京高考真题）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为________． 【答案】 （ 均可） 【解析】因为 ， 所以 ，解得 ，故可取 . 故答案为： （ 均可）. 11.已知 ，则 的值是_____. 【答案】 . 【解析】由 ， 得 ， 解得 ，或 . ， 当 时，上式 当 时，上式= 综上， 12.函数 的最小值为___________． 【答案】 . 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 当 时， ， 故函数 的最小值为 ． 三、解答题 13．（2020·全国高考真题（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a= c，b=2 ，求 的面积； （2）若sinA+ sinC= ，求C. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由余弦定理可得 ， 的面积 ； （2） ， ， ， . 14.设常数 ，函数 ． （1）若 为偶函数，求 的值； （2）若 ，求方程 在区间 上的解． 【答案】(1) ;(2) 或 或 . 【解析】（1）∵ ， ∴ ， ∵ 为偶函数， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，或 ， ∴ ，或 ， ∵ ， ∴ 或 或 15.已知 为锐角， ， ．（1）求 的值；（2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）因为 ， ，所以 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． （2）因为 为锐角，所以 ． 又因为 ，所以 ， 因此 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． 16.已知函数 . （Ⅰ）求 的最小正周期； （Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ） ， 所以 的最小正周期为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 . 因为 ，所以 . 要使得 在 上的最大值为 ， 即 在 上的最大值为1. 所以