专题05 导数及其应用 -备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练

专题5 导数及其应用 第一部分 真题分类 一、单选题 1．（2021·全国高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ， 所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ， 由题意可知，点 在直线 上，可得 ， 令 ，则 . 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 所以， ， 由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ， 当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示： 由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 . 故选：D. 2．（2021·全国高考真题（理））设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 . 依题意， 为函数 的极大值点， 当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . 当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . 综上所述， 成立. 故选：D 3．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+ 【答案】D 【解析】 设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ， 函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ， 设直线 的方程为 ，即 ， 由于直线 与圆 相切，则 ， 两边平方并整理得 ，解得 ， （舍）， 则直线 的方程为 ，即 . 故选：D. 4．（2020·全国高考真题（理））函数 的图像在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ， ， 因此，所求切线的方程为 ，即 . 故选：B. 5．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解析： ， 将 代入 得 ，故选D． 6．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵ ，即 ， （1）当 时， ， 当 时， ， 故当 时， 在 上恒成立； 若 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 令 ，则 ， 当 函数单增，当 函数单减， 故 ，所以 ．当 时， 在 上恒成立； 综上可知， 的取值范围是 ， 故选C． 二、填空题 7．（2021·全国高考真题（理））曲线 在点 处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】由题，当 时， ，故点在曲线上． 求导得： ，所以 ． 故切线方程为 ． 故答案为： ． 8．（2021·全国高考真题）函数 的最小值为______. 【答案】1 【解析】由题设知： 定义域为 ， ∴当 时， ，此时 单调递减； 当 时， ，有 ，此时 单调递减； 当 时， ，有 ，此时 单调递增； 又 在各分段的界点处连续， ∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增； ∴ 故答案为：1. 9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是__________． 【答案】 【解析】 设圆心 到直线 距离为 ，则 所以 令 （负值舍去） 当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ， 故答案为： 10．（2020·全国高考真题（文））设函数 ．若 ，则a=_________． 【答案】1 【解析】由函数的解析式可得： ， 则： ，据此可得： ， 整理可得： ，解得： . 故答案为： . 11．（2020·全国高考真题（文））曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】 【解析】设切线的切点坐标为 ， ，所以切点坐标为 ， 所求的切线方程为 ，即 . 故答案为： . 12．在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小. 由 ，得 ， ， 即切点 ， 则切点Q到直线 的距离为 ， 故答案为 ． 三、解答题 13．（2021·北京高考真题）已知函数 ． （1）若 ，求 在 处切线方程； （2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值． 【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，最大值为 ，最小值为 . 【解析】（1）当 时， ，则 ， ， ， 此时，曲线 在点 处的切线方