作业17 利用导数研究函数的性质-2021年高二数学暑假作业（新人教B版2019）

作业17 导数研究函数的性质 一、单选题 1．函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】 f′(x)＝－1＋2x＝2 ，令f′(x)＝0，得x＝ ． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 当x＝ 时，f(x)有极小值 ． 故选：B． 2．函数y＝x＋ (－2<x<0)的极大值为（ ） A．－2 B．2 C．－ D．不存在 【答案】A 【详解】 y′＝1－ ＝ ．令y′＝0得x＝－1． 在(－2，－1)上，y′>0；在(－1，0)上，y′<0，故函数在x＝－1处取得极大值－2． 故选：A 3．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ） A．f（1），f（2） B．f（2），f（5） C．f（1），f（5） D．f（5），f（2） 【答案】D 【详解】 f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， ∴x＝2是极小值点，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6， ∴最大值是f(5)，最小值是f（2）． 故选：D 4．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则其导函数y＝f ′(x)的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知， 当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0， 故只有B符合. 故选：B. 5．已知函数 ，则 在 上的单调性为（ ） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递增，在 上单调递减 C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递减，在 上单调递增 【答案】C 【详解】 因为 ， 所以 在 上单调递减， 故选：C． 6．函数 在定义域 内可导，其图像如图所示．记 的导函数为 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据导函数与函数之间关系，不等式 满足 单调递减， 则根据图象可得 在 单调递减， 则不等式 的解集为 . 故选：B. 7．已知函数 ，则 的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，得： ， ∴ ：即 ， 单调递减； 故选：C. 8．函数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：由 ，得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上递减，在 上递增， 因为 ， 所以函数 的最大值为 ， 故选：B 9．已知函数 在 处取得极值，则 （ ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】 解:因为 ，所以 ，由条件知， 是方程 的实数根， ．所以 ， ，令 ，解得 或 ，即 在 和 上单调递增，令 ，解得 ，即 在 上单调递减，故 在 取得极大值，满足条件； 故选：B 10．函数 的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由 得 ， 由 得 ，解得 ， 因此函数 的单调增区间是 . 故选：C. 二、多选题 11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．当 时， 有两个零点 B．当 时， 有极小值点 C．当 时， 没有零点 D．不论a为何实数， 有总存在单调递增区间 【答案】ABD 【详解】 ，当 时， ， 在 上单调递增 当 时，由 可得 ，由 可得 所以 在 上单调递减，在 上单调递增 所以 是 的极小值点，故B正确 不论a为何实数， 有总存在单调递增区间，故D正确 的零点个数等价于 的图象与 的图象的交点个数 设 为直线 与 相切的切点， 则 ，解得 ，所以直线 与 相切 由图可得，当 时， 有一个零点，故C错误 当 时， 有两个零点，故A正确 故选：ABD 12．如如图，是函数 的导函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A． 为函数 的递增区间 B． 为函数 的递减区间 C． 为函数 的递增区间 D．函数 有3个零点 【答案】AB 【详解】 由导函数图象知在 和 上， ， 递减，在 和 上 ， 递增， 但没有函数 的值的大小正负，不能得出其零点个数． 故选：AB． 三、解答题 13．求下列函数的单调区间： （1）f (x)＝3x2－2ln x； （2）f (x)＝x2 . 【详解】 (1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝6x－ ＝ ＝ ， 由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞ ，由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜ ， ∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . (2)函数的定义域为D＝(