第6章 阶段提升(四) 导数在研究函数中的应用(范围：6.2)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦导数在函数单调性、极值、最值及优化问题中的应用，从导数基本概念出发，通过复习导数几何意义过渡到单调性判断，再到极值、最值求解步骤，最后联系生活实际问题，构建知识递进的学习支架。 其亮点在于通过含参数单调性讨论、极值点分类等培养数学思维，结合工厂利润、蓄水池体积等实例用数学眼光观察现实，以“感悟提升”总结方法。帮助学生发展逻辑推理与模型意识，教师可直接使用题型与解析提升教学效率。

阶段提升(四)　导数在研究函数中的应用(范围：6.2) 1 返回首页 √ 返回首页 (－∞，0)∪[1，＋∞) 返回首页 3．已知函数f(x)＝ln x－ax.讨论f(x)的单调性． 返回首页 返回首页 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的． 返回首页 当 x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)＝ln 2＋1，无极大值． 返回首页 (2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值． ②当－e＜m＜－1时，x∈[1，－m)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(－m，e]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(－m)＝ln (－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不满足－e＜m＜－1，故舍去； 返回首页 利用导数求函数极值、最值应注意三点 (1)求单调区间时，应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则； (2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点； (3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论． 返回首页 [跟踪训练1] (1)已知函数f(x)＝－f′(1)x－4ln x，则(　　) A．f(x)的最小值为4－4ln 2 B．f(x)的最小值为2－4ln 2 C．f(x)的最大值为2－4ln 2 D．f(x)无最小值 √ 返回首页 返回首页 √ 返回首页 解析：方法一：f(x)的定义域为R，且f′(x)＝x2＋(a＋3)x＋3a＝(x＋3)(x＋a)，令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝－a，当－a＜－3，即a＞3时，当x＞－3或x＜－a，则f′(x)＞0，当－a＜x＜－3，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－a)，(－3，＋∞)上单调递增，在(－a，－3)上单调递减，此时f(x)在x＝－3处取到极小值，不合题意；当－a＝－3，即a＝3时，f′(x)＝(x＋3)2≥0在定义域R上恒成立，因此f(x)在定义域R上单调递增，无极值，不合题意；当－a＞－3，即a＜3时，当x＜－3或x＞－a，则f′(x)＞0，当－3＜x＜－a，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－3)，(－a，＋∞)上单调递增，在(－3，－a)上单调递减，此时f(x)在x＝－3处取到极大值，符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，3). 返回首页 方法二：f(x)的定义域为R，且f′(x)＝x2＋(a＋3)x＋3a，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2x＋a＋3，因为f(x)在x＝－3处取得极大值，所以g′(－3)≤0，解得a≤3.经验证，当a＝3时f(x)在x＝－3处取不到极大值．所以实数a的取值范围是(－∞，3). 返回首页 返回首页 【解】　由题意可知，销售收入为200x万元， 返回首页 (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 返回首页 返回首页 解决优化问题的基本思路 (1)优化问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时就可以利用导数解决优化问题． (2)导数是解决优化问题的基本方法之一．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路如下． 返回首页 [跟踪训练2] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； 解：因为蓄水池侧面的建造总成本为100×2πrh＝200πrh(元)，底面的建造总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 返回首页 (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 由此，可知V(r)在r＝5处取得极大值，也是最大值，此时h＝8， 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． 返回首页 $