第8讲 锥体（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第8讲 锥体 【知识梳理】 1.棱锥 定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。 基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。 注：棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为） 2.正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥； 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积：，。 注：（1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） （2） 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 （3） 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 3. 圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形 成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点； 直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边叫做圆锥侧面的一条母线； 圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高． 【性质】根据圆锥的形成过程易知： 1 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点； 2 每条母线与轴的夹角都相等. 4．锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 5．圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr． 【例题解析】 知识点一：棱锥 例1．设三棱锥S—ABC的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 AC长为10，三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13，求： (1)顶点S到底面的距离； (2)侧棱SB与底面所有角的大小(用反三角函数表示)； (3)二面角A—SB—C的大小(用反三角函数表示)； 例2．一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是 （ ） A．正五棱锥 B．斜三棱柱 C．不规则几何体 D．正三棱柱 知识点二：体积有关计算 例1． （2021·上海高二专题练习）正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，三棱锥的体积记为，三棱锥的体积记为，则以下结论正确的是 A． B． C． D．与的大小关系不能确定 例2．（2021·上海高二专题练习）已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 例3．（上海高二期末）底面的半径为1且母线长为的圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 例4．（2019·上海市向明中学高二期中）若圆锥的底面积是9π，体积是12π，则该圆锥的侧面积是________. 例5．（2019·上海市金山中学高二月考）三棱锥中，有一个平行于底面的平面截得一个△截面，已知，则________ 例6．（2021·上海高二专题练习）若一个圆锥的全面积为，其侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆维的体积为________． 例7．（2021·上海高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线和所成的角（结果用反三角函数值表示） 知识点三：表面积有关计算 例1．（2018·上海市宝山中学高二期中）若圆锥的母线长为10，底面半径为6，则侧面展开图扇形的圆心角为_____ 例2．（2021·上海高二专题练习）若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为___________ 例3．（上海）若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________． 例4．（2021·上海高二专题练习）已知母线长为的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________． 例5．（2018·上海市淞浦中学高二月考）正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的表面积是____ 例6．（2018·上海）一个高为的正三棱锥的底面正三角形的边长为3，则此正三棱锥的表面积为_______. 例7．（2018·上海中学）已知正四棱锥的底