第9讲 三角不等式（巩固基础+能力提升练习）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第9讲 三角不等式 (巩固基础+能力提升练习） 【巩固基础】 一、单选题 1．（2019·陕西省子洲中学高二月考（文））关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值三角不等式，简单计算即可. 【详解】由 又不等式的解集不是空集，所以 故选：B 2．（2020·全国（理））函数的最小值及取得最小值时的值分别是 A．1， B．3，0 C．3， D．2， 【答案】C 【分析】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值. 【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立，故选C. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于基础题. 3．（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式在（﹣∞，1]上恒成立，则实数的取值范围为 A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[3，+∞） D．（﹣∞，3] 【答案】A 【分析】由题意可得m≥（|x+1|﹣|x﹣2|）max，讨论x＜﹣1，﹣1≤x≤1时，求得|x+1|﹣|x﹣2|的最大值，由恒成立思想可得所求m的范围． 【详解】关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤m在（﹣∞，1]上恒成立， 即为m≥（|x+1|﹣|x﹣2|）max， 由﹣1≤x≤1时，|x+1|﹣|x﹣2|=x+1+x﹣2=2x﹣1∈[﹣3，1]； x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣2|=﹣x﹣1+（x﹣2）=﹣3． 则|x+1|﹣|x﹣2|的最大值为1， 可得m≥1， 故选A． 【点睛】本题考查含绝对值的不等式恒成立问题解法，转化为不等式在其定义域上的值域问题，也考查运算能力，属于中档题． 二、填空题 4．（2020·民勤县第一中学高二期末（理））函数的最小值为________. 【答案】6 【分析】利用绝对值不等式可求该函数的最小值. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 故的最小值为6. 故答案为：6 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，注意，当且仅当时等号成立，本题属于基础题. 5．（2019·浙江高三专题练习）若关于的不等式在上恒成立,则的最大值是_________. 【答案】1 【分析】利用绝对值三角不等式的性质，可以求出的最小值，最后求出的最大值. 【详解】,所以,解得,所以的最大值为1. 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式的性质解决不等式恒成立问题，解题的关键是对绝对值三角不等式性质的正确理解. 6．（2020·内蒙古乌兰察布市·集宁一中高二月考（文））函数的最小值是________. 【答案】2 【分析】利用绝对值三角不等式即可求得该函数的最小值. 【详解】因为， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：2. 【点睛】本题考查由绝对值三角不等式求含绝对值的函数的最小值，注意取等的条件即可. 7．（2019·湖南岳阳市·岳阳一中高三月考（理））假设存在实数满足，那么实数的取值范围为___________. 【答案】（-3，7） 【分析】结合绝对值三角不等式将，进而求解 【详解】，即 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，应该熟记：，属于基础题 8．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））不等式的解集为,则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】由绝对值不等式性质进行化简,结合不等式解集为R即可求得的取值范围. 【详解】不等式 根据绝对值三角不等式性质可得 即 若不等式的解集为 则 故答案为: 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式的性质及应用,属于基础题. 9．（2019·淮北师范大学附属实验中学高二月考（文））若函数的最小值为3，则实数的值为_______． 【答案】或 【分析】利用绝对值三角不等式可求得最小值为，从而得到方程，解方程求得结果. 【详解】 即：，解得：或 本题正确结果：或 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，属于基础题. 10．（2019·安徽（理））已知最小值为5，则_____________； 【答案】 【分析】讨论a的范围，分情况去掉绝对值，找到不同情况下的最值，进而得到参数值. 【详解】当时， 已知 ， 此时最小值是当时，代入得到a=12或-18，故此时a=12; 当时， 、 此时函数在x=处取得最小值，代入得到a=-18. 故答案为12或-18. 【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的最值的求法，常见的解法是零点分区间去掉不等式. 11．（2019·全国高二专题练习（理））已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】分析：先将函数的定义域为转化为不等式恒成立问题，再利用三角不等式和绝对值不等式的解法进行求解. 详解：因为函数 的定义域为， 所以恒成立， 又， 则， 即或， 即或， 即实数的取