第9讲 三角不等式（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第9讲 三角不等式 【知识梳理】 三角形不等式 如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 【例题解析】 例1．（2020·上海市徐汇中学高一期中）设不等式（常数）的解集是M，设不等式（常数）的解集是N，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由绝对值三角不等式，可知，从而得到即可得解． 【详解】解：由绝对值三角不等式，可知． 不等式（常数）的解集为N，不等式 （常数）的解集为M， ， 故选：B． 例2（2020·上海高一单元测试）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】考虑，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】函数，当,时，的最大值为， 可得，，， 可得,,, ， 即，即有，则的最小值为， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式. 例3．（2020·上海市行知中学高一期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式可求得的最小值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】由绝对值三角不等式可得， 所以，， 因为关于的不等式的解集为，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 例4．（2021·上海高一期末）已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为________． 【答案】(－∞，5) 【分析】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，可转化为不等式|x－2|＋|x＋3|>m恒成立，利用不等式的性质求出|x－2|＋|x＋3|的最小值，就可以求出的范围. 【详解】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方， 即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立， 即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立． 因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5， 所以m<5，即m的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关利用两个函数图象的关系，得出函数值的大小关系，之后将恒成立问题向最值靠拢，利用绝对值不等式的性质求得结果，属于简单题目. 例5．（2020·上海市第二中学高一期中）已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【答案】或 【分析】根据，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解. 【详解】因为， 所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时，， 当时，， 所以当且仅当，即或时，取等号， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 例6．（2020·上海市实验学校）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】由题可知，利用绝对值不等式的性质可以求出 的最大值，进而可求出实数的取值范围. 【详解】解：由于不等式对一切实数恒成立， 则大于等于的最大值，即， ，当 时取等号， 则的最大值为7， 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查含有两个绝对值的函数的最值及恒成立问题，一般利用绝对值的性质或者几何意义进行求解，在恒成立问题中求参数的范围的常用结论如下： 恒成立 ； 恒成立 . 例7．（2020·上海市洋泾中学高一期中）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值为3，即得解. 【详解】由题得， 所以的最小值为3， 所以. 故答案为： 【点睛】结论点睛：绝对值三角不等式经常用来求绝对值函数的最值，要理解掌握灵活运用. 例8．（2020·上海市控江中学高一期中）若对任意，存在实数，使得成立，则实数的最小值是__________. 【答案】 【分析】根据题意得对任意，存在实数，使得成立，再结合将问题转化为对任意恒成立，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】解：因为对任意，存在实数，使得成立， 所以对任意，存在实数，使得成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以有对任意恒成立， 即对任意恒成立， 由于，当且仅当，即时等号成立； 所以，即. 所以实数的最小值是 故答案为： 【点睛】本题考查不等式恒恒成立问题与存在性问题的解法，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于注意运用绝对值三角不等式的性质和基本不等式求最值. 例9．（2021·上海高一