考点14 数列的综合运用-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点微专题

考点14 数列的综合运用 1．（2015·广东高考真题（文））设数列 的前 项和为 ， ．已知 ， ， ，且当 时， ． （1）求 的值； （2）证明： 为等比数列； （3）求数列 的通项公式． 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ． 【解析】 试题分析：（1）令 可得 的值；（2）先将 （ ）转化为 ，再利用等比数列的定义可证 是等比数列；（3）先由（2）可得数列 的通项公式，再将数列 的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列 的通项公式． 试题解析：（1）当 时， ，即 ，解得： （2）因为 （ ），所以 （ ），即 （ ），因为 ，所以 ，因为 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列 （3）由（2）知：数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以 即 ，所以数列是以 为首项，公差为 的等差数列，所以 ，即 ，所以数列 的通项公式是 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式. 公式法求和中的常用公式有 (1)等差、等比数列的前n项和 ①等差数列：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d(d为公差)或Sn＝eq \f(na1＋an,2). ②等比数列：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，))其中q为公比． (2)四类特殊数列的前n项和 ①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(1,2)n(n＋1)． ②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. ③12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)． ④13＋23＋33＋…＋n3＝eq \f(1,4)n2(n＋1)2. 1．（2021·广东佛山市·高三二模）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力”的重要指标.“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是6.16%.“十四五”规划《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到2025年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计2025年我国基础研究经费为（ ） A．1500亿元左右 B．1800亿元左右 C．2200亿元左右 D．2800亿元左右 2．（2021·海南海口市·高三其他模拟）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（ ） A．2022年12月 B．2023年2月 C．2023年4月 D．2023年6月 3．（2020·全国高三专题练习（文））右面的数表为“森德拉姆筛”，其特点是表中的每行每列上的数都成等差数列，则第n行第n个数字是（ ） 2 3 4 5 … 3 5 7 9 … 4 7 10 13 … 5 9 13 17 … … … … … … A． B． C． D． 4．（2021·重庆一中高三其他模拟）在进行 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．（2021·湖北高三二模）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ） （取 ， ） A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元 6．（2021·全国高三专题练习（文））十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作：再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区