考点12 等差数列及其前n项和-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点微专题

考点12 等差数列及其前n项和 1．（2021·全国高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列． （1）求 和 的通项公式； （2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【分析】 利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可； 利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可. 【详解】 因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列， 所以 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ， 所以 . （2）证明：由（1）可得 ， ，① ，② ① ②得 ， 所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 . 【点晴】 本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． 2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 3.判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． (2)等差中项 若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2). 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2). 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列． 1．（2021·北京高考真题）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2020·河北高三其他模拟（文））已知等差数列 中， ， 为数列 的前 项和，则 （ ） A．30 B．35 C．40 D．45 3．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知等差数列 满足 ，则它的前8项的和 （ ） A．70 B． C． D．105 4．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则 的值为（ ） A． B．9 C． D．5 5．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲､乙，丙､丁､戊､己､庚､辛､王､癸，地支有十二个，依次是子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥．古人把它们按照甲子､乙丑､丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年､月､日､时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年(2021年)是辛丑年，则百年后的2121年是（ ）年． A．丙午 B．丁巳 C．辛巳 D．辛午 6．（2021·北京高三其他模拟）已知等差数列 的前 项和记为 ，则“ ”是“ 为单调数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2021·河南平顶山市·高三三模（文））下列结论中正确的是（ ） ①设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若 ， ， ，则 ； ② 是函数 取得最大值的充要条件； ③已知命题 ， ；命题 ，