专题1.3 集合的基本关系-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列（北师大版2019必修第一册）

专题1.3 集合的基本关系-重难点题型精讲 1．子集的概念 2．真子集的概念 3．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 【题型1 子集、真子集的概念】 【方法点拨】 ①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法． ②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． ③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 【例1】（2020秋•宁县校级月考）对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论． 【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素， ∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B， 故选：C． 【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题． 【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（　　） A．{2，4，5} B．{1，2，5} C．{1，6} D．{1，3} 【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可． 【解答】解：由图可知B⊆A， 而{1，3}⊆{1，2，3}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键． 【变式1-2】（2020秋•东湖区校级期中）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（　　） A．② B．①② C．①②③ D．①③④ 【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项． 【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确； 空集是任何非空集合的真子集，∴②正确； 0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误； 1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误； ∴正确的为①②． 故选：B． 【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义． 【变式1-3】[多选题]下列命题中，正确的有（　　） A．空集是任何集合的真子集； B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C； C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B 【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断． 【解答】解：空集是不是空集的真子集，A错； 真子集具有传递性，B对； 空集没有真子集，C错； 如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B，D对， 故选：BD． 【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题． 【题型2 集合的相等与空集】 【方法点拨】 ①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题． ②利用空集的定义去解题. 【例2】（2020秋•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（　　） A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z} D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1} 【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可． 【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P＝Q； 选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合， 集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q； 选项C：集合P＝{0，1}，集合Q中：当n为奇数时，x＝0，当n为偶数时，x＝1，所以Q＝{0，1}，则P＝Q； 选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q； 综上，选项AC表示的集合相等， 故选：AC． 【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题． 【变式2-1】（2020秋•五华区校级期中）已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2021+b2020＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据集合元素的互异性得到关于a的方程组或，通过解方程组求得a、b的值，则易