【新教材精创】 5.2.2 等差数列的前n项和导学案(人教B版 高二 选择性必修第三册)

5.2.2 等差数列(2) 导学案 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式及性质,并能解决相应问题. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中的三个求另外的两个. 4.理解等差数列前n项和公式的二次函数特征. 重点：等差数列的前n项和的应用及其函数特征 难点：等差数列前n项和公式的推导方法 一、等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的前n项和为Sn, 对前n项和公式的几点说明 (1)等差数列的两个求和公式一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个,可求另外两个,方法就是解方程组,这也是等差数列的基本问题形式. (2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=.用此公式时,有时要结合等差数列的性质. (3)当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式Sn=na1+d. 二、等差数列的前n项和公式与函数的关系 由于Sn=na1+d=n2+n, 当d≠0时,此公式可看作二次项系数为,一次项系数为,常数项为0的二次函数,其图像为抛物线y=x2+x上的点集,坐标为(n,Sn)(n∈N+). 因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值. 提示:(1)Sn=na1+(n-1)d可变形为Sn=dn2+n,令d=A,a1-=B,则Sn=An2+Bn(A为常数),并且有如下结论:数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数). (2)=a1+(n-1),这说明是等差数列. 1、 问题探究 问题1.为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示. 如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？ 利用这一小节我们要学习的等差数列前项和的公式，我们可以快速地解答情景中的问题. 探究1.如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层. （1）在不逐个相加的前提下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？ （2）你能得出一般等差数列前项和的公式吗？ 探究2. 上述等差数列的前项求和公式与首项和第项有关，你能将其改写成与公差有关的形式吗？ 探究3. （1）等差数列中，