【新教材精创】5.1.2 数列中的递推 -B提高练

5.1.2 数列中的递推 -B提高练 一、选择题 1．（2021·四川绵阳南山中学高一期中）数列的首项，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以. 2．（2021·上海高二月考）著名的波那契列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列中的（ ） A．第2020项 B．第2021项 C．第2022项 D．第2023项 【答案】C 【详解】因为，所以 ，故选：C． 3．（2021·全国高二专题练）设是数列的前项和，若，则（ ）． A．4043 B．4042 C．4041 D．2021 【答案】A 【详解】法一：； 法二：，当时，， 当时，. 当时，也适合上式，，则.故选：A. 4．（2021·河南高二月考）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ） A．55 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴，又∵;; ;; ;,故选：A. 5．（多选题）（2021·山东泰安一中高二月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（ ）(参考数据：) A． B． C．2020年小王的年利润为40000元 D．两年后，小王手中现款达41万 【答案】BCD 【详解】对于A选项，元，故A错误 对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确； 对于C选项，由得 所以数列是首项为公比为1.2的等比数列， 所以，即 所以2020年小王的年利润为元，故C正确；对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.故选： BCD. 6. （多选题）（2021·扬州大学附属中学东部分校高二月考）已知数列中，前n项和为，且，则的值不可能为（ ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】BD 【详解】∵，∴时，， 化为：，由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD． 二、填空题 7．（2021·上海市七宝中学高二月考）已知正整数数列满足,则当时，___________. 【答案】4 【详解】由题意，，，，，，…， 数列从第二项起是周期数列，周期为3，所以． 8．设为数列的前项和，且，，则______. 【答案】54 【详解】由已知，，，， 所以. 9．（2021·福建莆田一中高二期中）已知数列的前项和，那么它的通项公式是___________. 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 且当时，， 据此可得，数列的通项公式为：. 10.（2021·全国高二课时练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________． 【答案】144 【详解】由题意及图形知，不妨构造数列表示第行实心圆点的个数的变换规律， 其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和． 即，且时，，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144． 三、解答题 11.（2021·全国高二课时练）根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前项，并由此归纳出它的通项公式. （1），； （2），. 【详解】（1），， ，，，，， 所以，数列的通项公式为； （2），. ，，，，. 所以，数列的通项公式为. 12. （2021·江西南昌市高二月考）已知数列中，，，． （1）求，的值； （2）求的前2021项和． 【答案】（1）；；（2）． 【详解】 （1）当时，，所以； 当时，，所以； （2）当时，，所以； 由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以． $ 5.1.2 数列中的递推