第04讲基本不等式（考点精练）-备考2022年高考数学一轮复习之考点精讲练（新高考地区专用）

备考2022年高考高三数学一轮复习之考点精练 第4讲 基本不等式 一、单选题 1．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】 对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 2．（2011·重庆高考真题（文））=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a= A．1+ B．1+ C．3 D．4 【答案】C 【详解】 试题分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值． 解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4 当x﹣2=1时，即x=3时等号成立． ∵x=a处取最小值， ∴a=3 故选C 点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力． 3．（2008·重庆高考真题（文））函数f(x)=的最大值为 （ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 本小题主要考查均值定理．（当且仅，即时取等号．故选B． 4．（2012·浙江高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】 由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 5．（2015·福建高考真题（文））若直线过点，则的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】 试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C． 考点：基本不等式. 6．（2011·上海高考真题（文））若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 7．（2008·浙江高考真题（文））已知 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。由,且，∴，∴ 。 8．（2012·福建高考真题（理））下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 试题分析：A选项不成立，当时，不等式两边相等； B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出； C选项是正确的，这是因为； D选项不正确，令，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．综上，C选项是正确的．故选C． 考点：不等式的性质. 9．（2021·山东滨州市·高三一模）已知，，向量，，若，则的最小值为（ ） A．9 B．8 C． D．5 【答案】B 【分析】 由向量垂直的坐标表示求得满足的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为8． 故选：B． 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 10．（2012·陕西高考真题（理））在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C. 11．（2021·江西高三其他模拟（文））若，为正实数，且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】 由已知可得，再利用基本不等式计算可得； 【详解】 解：由已知可得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 【点睛】 本题考查基本不等式及其应用，属于中档题． 12．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】 本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】 由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定