第04讲基本不等式（考点精讲）-备考2022年高考数学一轮复习之考点精讲练（新高考地区专用）

备考2022年高考高三数学复习之考点精讲 第4讲 基本不等式 【知识点梳理】 1、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）. ④ （当且仅当时取到等号）. ⑤ （当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号） （当仅当a=b时取等号） ⑦ 其中 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ①平均不等式： ,（当且仅当时取号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立. ⑧琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸（或凹）函数. 【考点精讲】 考点一：利用基本不等式求最值 例1．当时，求的最小值为___________. 【答案】10 【分析】 化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】 当时，， 当且仅当,即时等号成立. ∴的最小值为10. 故答案为：10. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例2.若、，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用特殊值法以及基本不等式进行判断即可得出结论. 【详解】 对于A选项，取，，，不等式不成立； 对于B选项，由于，若、同为负数，则不等式不成立； 对于C选项，，则且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则不等式恒成立； 对于D选项，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，则不等式不恒成立. 故选：C. 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 变式训练1-1．已知，且，则的最小值___________. 【答案】 【分析】 利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为. 故答案为：. 变式训练1-2.（多选）下列选项中正确的是（ ） A．不等式恒成立 B．存在实数a，使得不等式成立 C．若a､b为正实数，则 D．若正实数x，y满足，则 【答案】BCD 【分析】 根据基本不等式的条件和结论对所有选择支分别判断ABC;利用“乘1”法，使用基本不等式判定D． 【详解】 不等式恒成立的条件是，，比如取,可知不等式不成立，故A不正确； 当a为负数时，不等式成立.故B正确； 若a､b为正实数，则，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故C正确； 若正实数x，y，则， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一定要注意一正二定三相等．另外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性． 变式训练1-3．（多选）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据已知条件，利用基本不等式可以证明A正确；根据已知条件，求得的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD；利用对数函数的单调性对C进行等价转化，通过举例可以否定C. 【详解】 ， 又故正确； ，，且，，故正确； ,故正确； 等价于，即， 等价于,但当时，满足条件，，且，,故C错误； 故选：. 【点睛】 本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定. 考点二：构造基本不等式 例3.若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A．1 B．16 C．9 D．18 【答案】B 【分析】 由，结合基本不等式求出最小值． 【详解】 ∵， ∴. 又， ∴，当且仅当时取等号， ∴. 故选：B 例4．已知都是正数，若，则的最小值为________. 【答案】2 【分