考向07 函数的单调性与最值（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向07 函数的单调性与最值 1.（2020·海南高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】 因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ， 所以 在 上也是单调递减，且 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以由 可得： 或 或 解得 或 ， 所以满足 的 的取值范围是 ， 故选：D. 【点睛】 本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 2.（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍. 对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍. 对于C， 在 为减函数，不合题意，舍. 对于D， 为 上的增函数，符合题意， 故选：D. 1．函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。 2．函数f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。 3．函数的单调定义中的x1、x2有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。 4．求函数的单调区间必须先求定义域。 5．判断函数单调性常用以下几种方法： (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； 6.求函数最值(值域)的常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【知识拓展】 1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,f（x）)的单调性相反. 2.“对勾函数”y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的单调增区间为(－∞，－eq \r(a))，(eq \r(a)，＋∞)；单调减区间是[－eq \r(a)，0)，(0，eq \r(a)]. 1．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 2．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递减的函数是（ ） A． B． C． D．f(x)=lg|x| 3．（2021·青海西宁市·高三二模（理））已知函数 ， ，若 在区间 上的最大值是3，则 的取值范围是______. 4．（2021·浙江湖州市·高三二模）设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，则 ___________. 1．（2021·湖南高三其他模拟）下列函数在其定义域上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知偶函数y=f(x)在区间 上是减函数，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知 ，且 ，则下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 4