【暑期特惠01】第3篇 高一预习 第3章 3.3 幂函数-初升高数学衔接教材【名师大课堂】

名师大课堂系列丛书 设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇 数,则下列结论恒成立的是 7.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈ A.f(x)+|g(x)是偶函数 0,5时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x) B.f(x)-|g(x)|是奇函数 <0的解是 C.|f(x)+g(x)是偶函数 D.|f(x)-g(x)是奇函数 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x) x2-4x,则不等式x/(x)>0的解集为( U(4,+∞) 8.两数f(x)=ax3+2bx+ab是奇函数,且其定 B.(-4,0)∪(4,+∞ 义域为[3a-4,a],则∫(a) 4)∪ 幂函数 四 像gs观 1.幂函数的概念 般地,函数 叫作幂函数,其中 值域R[0,+∞)R[o,+∞) 是自变量 是常数 2.常见幂函数的图象与性质 奇偶性 奇函数 幂两数 在[0. 在R上为增两在R上 单调性为增数,在为增 上为增在(- 函数 ,函数 函数 0)上为 定义域R 十c) 新知自主探究o 像ms级kee 探究点一幂函数的概念 以m= 【典例1】(1)在函数 【答案 1)2,y=3x中,幂函数的个数为 方法总结】1.只有形如y=x2(其中a为任 意实数,x为自变量)的函数才是幂函数,否则就不 D 是幂函数 (2)幂函数f(x)=(m2-2m-2)x"-m在(0 断一个函数是否为幂函数的依据是该函数 1∞)上减函数,则 【解析】(1)根据幂函数定义可知,只有 是否为y=x“(a为常数)的形式,函数的解析式为 是幂函数 个幂的形式,且(1)指数为常数;(2)底数为自变量; (2)因为幂函数∫(x) 2m-2)xm+常m在 )底数系数为1.形如y=( 5,…形式的函数都不是幂函数.反过来,若一个函数 (0,十∞)上是减函数,所以 2m2|m<0、所为幂函数,则该函数也必具有这一形式 56 初升高銜接教材·数 [对点训练 的 (2)因为函数在(0,丨∞)上单调递减,所以3m 已知f(x)=(m2+2m)xm+1,m为何值时 9<0,解得m<3,又m∈N‘,所以m=1,2 f(x)是:(1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)二 因为函数的图象关于y轴对称,所以3m-9为 次函数?(4)幂函数? 偶数,故m=1, 则原不等式可化为(a+3)5<(52a) 因为 在(一∞,0),(0,十∞)上单调递 减,所以a+3>5-2a>0或 3<0或a十 2a,解得<a<。或a<-3 答案】(1)B(2 <。或 【方法总结】幂函数的性质如下 1)在区间(0,十∞)上都有定义,并旦图象都通 过点(1,1) (2)若a>0,则幂函数的图象通过原点,并且在 区间[0 上是增函数.当0<a<1时,在第一像 限内为抛物线形,且开口向右;当a>1时,在第一像 限内为抛物线形,且开口向上 (3)若a<0,则幂函数在区间(0,十∞)上是减函 数,在第一像限内为双曲线形,当x从右边趟向原点 时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于 探究点二幂函数的图象和性质 时,图象在x轴上方无限地逼近x轴 【典例2】(1)如图所示,图中的曲线是幂函数 对点训练 y=x”在第一像限的图象,已知n取士2,士四个 值,则对应于C1,C2,C3,C4的n依次为 幂函数y=x (m∈Z)的图象如图所示,则 m的值为 1 o 2B. TrSs B.0或2 C.l或3 ).0,1,2或 2,2 D.2 探究点三幂函数单调性的应用 (2)已知幂函数y=x3m9(m∈N)的图象关于 【典例3】(1)设a y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则满足(a+ 3)3<(52a)5的a的取值范围为 (2),则a,b,c的大小关系是 解析】(1)根据幂函数y=x的性质,在第 Aacbc B ceab 像限内的图象,当n>0时,n越大,y=x”递增速度 C u<<c D b>cea 越快故C1的n=2,C2的n=1,当n<0时,m|越 【解析】构造幂函数y=x,x>0,由该函数在 定义域内单调递增,知1>a>b;又c=2z>1,知 大,由线越陡峭,所以曲线C3的n=-2,曲线 a<c.故c>a>b 名师大课堂系列丛书 【答案】B 足条件 (2)已知幂函数∫(x)=x,若∫(a+1)<f(10 A.a>1 B.0 2a),则a的取值范围是 D.a>0且a≠ 【解析】∵f(x)=x=产(x>0),易知f(x) 归纳小结 )上为减函数,又f(a+1)<f(10-2a),1.幂函数y=x°的底数是自变量,指数是常数 a+l>0 2.幂函数在第一像限内指数变化规律 ∴10-2a>0,解得{a<5 在第一像限内直线x=1的右侧,图象从上到下 a|1>10-2a 相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象 从下到