考点08 函数与导数的综合运用-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点08 函数与导数的综合运用 1．（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且 ，函数 （1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 . (注： 是自然对数的底数) 【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 ； (2) ； (3)证明见解析. 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围； (3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】 (1) ， ①若 ，则 ，所以 在 上单调递增； ②若 ， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增. 综上可得， 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 . (2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解， 令 ，则 ， 记 ， 记 ， 又 ，所以 时， 时， ， 则 在 单调递减， 单调递增， ， . 即实数 的取值范围是 . (3) 有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ， ， 注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 故 ，又由 知 ， ， 要证 ，只需 ， 且关于 的函数 在 上单调递增， 所以只需证 ， 只需证 ， 只需证 ， ，只需证 在 时为正， 由于 ，故函数 单调递增， 又 ，故 在 时为正， 从而题中的不等式得证. 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 在区间 内有唯一零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为 的是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（理））下列命题为真命题的是（ ） A．函数 有两个零点 B．“ ， ”的否定是“ ， ” C．若 ，则 D．幂函数 在 上是减函数，则实数 4．（2021·全国高三专题练习（理））若方程 在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（ ） A． B．[0,2] C． D． 5．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若函数 有极值点 ，且 ，则关于x的方程 的不同实根个数是（ ） A．2 B．3 C．3或4 D．3或4或5 7．（2021·四川德阳市·高三三模（理））已知函数 ，若存在 ，使 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知不等式 ( ， ，且 )对任意实数 成立，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．（2021·河南高三月考（理））若函数 存在零点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．（2021·河南高三月考（理））已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．（2021·全国高三月考（理））已知函数 ， ，若 的图象与 的图象在 上恰有 个交点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．（2021·全国高三月考（理））已知函数 为自然对数的底数)， 若 有解，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13．（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知 ，若当 时，总有 ，则 的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 14．（2021·全国高三其他模拟（理））已知定义在 上的奇函数 的部分图象如图所示， 是 的导函数，则（ ） A． B． C． D．方程 无解 15．（2012·天津高考真题（理））函数在区间(0,1)内的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 16．（2019·天津高考真题（理））已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则