考点06 导数的概念及运算、定积分-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点06 导数的概念及运算、定积分 1．（2021·全国高考真题（理））曲线 在点 处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】 先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】 由题，当 时， ，故点在曲线上． 求导得： ，所以 ． 故切线方程为 ． 故答案为： ． 2．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． （1）求 ； （2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值． 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值； （2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 面积的最大值. 【详解】 （1）抛物线 的焦点为 ， ， 所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ； （2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ， 设点 、 、 ， 直线 的方程为 ，即 ，即 ， 同理可知，直线 的方程为 ， 由于点 为这两条直线的公共点，则 ， 所以，点 、 的坐标满足方程 ， 所以，直线 的方程为 ， 联立 ，可得 ， 由韦达定理可得 ， ， 所以， ， 点 到直线 的距离为 ， 所以， ， ， 由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 . 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 再求切线方程时，要注意“过某点的切线”与“在某点处的切线”是不一样的。 “给定被积函数，求其定积分”的解决步骤： EQ \o\ac(○,1)求出被积函数的原函数。 EQ \o\ac(○,2)利用微积分基本定理将定积分转化为其原函数求值。 EQ \o\ac(○,3)带入积分上下限，求值。 1．导数的概念 (1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或 ，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). (2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率， 相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（