考点04 幂、指数、对数函数-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点04 幂、指、对数函数 1．（2021·全国高考真题（理））设 ， ， ．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】 , 所以 ; 下面比较 与 的大小关系. 记 ,则 , ， 由于 所以当0<x<2时， ,即 , , 所以 在 上单调递增， 所以 ,即 ,即 ; 令 ,则 , , 由于 ，在x>0时, , 所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b<c; 综上， , 故选：B. 【点睛】 本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 求与指数函数、对数函数或幂函数相关的函数的定义域、值域或单调性相关问题的步骤。 EQ \o\ac(○,1)确定函数的定义域及复合函数的内外函数。 EQ \o\ac(○,2)讨论内外函数的单调性。 EQ \o\ac(○,3)得出复合函数的单调性，进一步得单调区间。 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 单调性 在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减； 在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增 在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增； 在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)对称 3．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)(eq \r(n,a))n＝a. 当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a， 当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 4．分数指数幂 正数的正分数指数幂， ＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂， ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义． 5．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 6．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 7．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数