考点03 函数的奇偶性与周期性-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题

考点03 函数的奇偶性与周期性 1．（2021·全国高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】 因为 是奇函数，所以 ①； 因为 是偶函数，所以 ②． 令 ，由①得： ，由②得： ， 因为 ，所以 ， 令 ，由①得： ，所以 ． 思路一：从定义入手． 所以 ． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 的周期 ． 所以 ． 故选：D． 【点睛】 在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 两个奇偶函数四则运算的性质 EQ \o\ac(○,1)两个奇函数的和仍为奇函数； EQ \o\ac(○,2)两个偶函数的和仍为偶函数； EQ \o\ac(○,3)两个奇函数的积是偶函数； EQ \o\ac(○,4)两个偶函数的积是偶函数； EQ \o\ac(○,5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零常数T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知 为奇函数且对任意 ， ，若当 时， ，则 （ ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））若 是 上周期为5的奇函数，且满足 ， ，则 等于（ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 4．（2021·江苏南通市·高三一模）已知 是定义在 上的函数， ，且对任意的 ，都有 ， ，若 ，则 （ ） A．2020 B．3 C．2 D．1 5．（2021·河南高三其他模拟（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， .已知函数 ，则函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 6．（2021·全国高三其他模拟）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 7．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）设 是奇函数，若函数 图象与函数 图象关于直线 对称，则 的值域为（ ） A． B． C． D． 8．（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中（理））已知定义在 上的函数 ，对任意实数 有 ，若函数 的图象关于直线 对称， ，则 （ ） A．5 B．-2 C．1 D．2 10．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知 为 上的奇函数， 为偶函数，若当 ， ，则 （ ） A． B． C．1 D．2 11．（2021·新余市第一中学高三其他模拟（理））关于函数 ， 的性质，以下说法正确的是（ ） A．函数 的周期是 B．函数 在 上有极值 C．函数 在 单调递减 D．函数 在 内有最小值 12．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知定义域为 的奇函数 满足 ，当 时， 则 （ ） A． B．4 C． D．1 13．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数 是定义在 上的偶函数，满足 ，当 时， ，则函数 的零点个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且 ，当 时， ，则f(101)+f(105)的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 15．（2020·全国高考真题（理））设函数 ，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函