5.3导数在研究函数中的应用-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第二册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第二册） 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 一、单选题 1．若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，是有两解， 所以，所以， ，， 由可得， ， 由可得，，则， 故选：D. 2．已知函数，若，，，其中，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得时，， 令，所以函数在单调递增， 令，所以函数在单调递减. 所以，所以. 又， 所以. 故选：B 3．若函数的值域为，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若函数的值域为， 则函数的函数值应能取到所有的正数，易知， ，则只需使的最小值小于等于0， ，当时，，单减； 当时，，单增； 则的最小值为， 解得，则实数的最大值为 故选：B 4．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则时，，单增； 时，，单减； 又，为偶函数； 则不等式，等价于， 则，解得 故选：A 5．已知函数，若恒成立，则的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为，， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又 所以的图像如图所示， 令，恒过定点 要使，必有图像恒在图像的下方，则， 当与的图像相切于点时，m取得最小值. 当时，， 令，则，所以 此时切线的斜率为-1，故， 故选：D 6．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（ ） A．m＜2或m＞4 B．或 C． D．2＜m＜4 【答案】C 【解析】， 由题意得导函数无变号零点 ， 所以恒成立， ， 解得， 故选：C. 二、填空题 7．若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】由，依题意可知有两个不同解，， 函数的对称轴为，则 当时，当时， 所以为极大值点，又因为， 所以 故答案为： 8．已知函数，若且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】作出函数的大致图象如图所示， 设，则． 由，可得；由，可得． 令，其中，则． 由，得． 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． 所以．即的最小值为． 故答案为： 9．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3，6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【答案】4 【解析】解析：商场每日销售该商品所获得的利润为 令，得x＝4或x＝6(舍去)． 故当时，当时． 则函数f(x)在(3，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减， ∴当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42． 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元． 三、解答题 10．已知函数为奇函数，且的极小值为. （1）求和的值； （2）若过点可作三条不同的直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）因为是奇函数，所以恒成立，则. 所以， 所以， 则 令，解得或. 当时，，当时，. 在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为， 由， 解得， 所以，. （2）由（1）可知， 设点是曲线的切点， 则在点处的切线的方程为 即 因为其过点， 所以， ， 当时，，当时，，当时， 所以为极大值点，为极小值点， 由于， 所以实数的取值范围为. 11．已知是函数的极值点. （1）求的值，并证明恒成立； （2）证明：对于任意正整数， 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1），， 因为，所以， 由得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，. 即当时，恒成立. （2）由（1）知，当时，，（时取等号.） 取，（，）得， 即，令，相加得到 ， 所以，， 即对任意，. 12．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）定义域为，， ①时，所以在上单调递减； 所以在上单调递增； 当时， ②当时， 所以在单增， 当所以在上单调递减； ③当时， 所以在单增， 当所以在上单调递减； ④当时，恒成立，且只有当时，， 所以在R上单增； 综上，①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 在单增，在上单调递减； ③当时， 在单增，在上单调递减； ④当时， 在R上单增； （2）由端点效应，，