4.4数学归纳法-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第二册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第二册） 第四章 数列 4.4数学归纳法 一、单选题 1．用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，，所以. 故选：B. 2．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“k到”左边增加的项数是（ ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】用数学归纳法证明“（，）”时，由 当时，不等式左边，有项； 当时，不等式左边，有项， 则左边应增加的项数共项， 故选：D 3．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，左边， 当时，左边， 所以左边增加分母是连续的正整数 所以共增加了项 所以的假设证明时，不等式左边需增加的项数为 故选：C 4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是（ ） A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 【答案】B 【解析】当n＝1时，左边计算得出 故选：B 5．用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是（ ） A．(2k+1)+(2k+2) B．(2k-1)+(2k+1) C．(2k+2)+(2k+3) D．(2k+2)+(2k+4) 【答案】C 【解析】当n=k时，左边是共有2k+1个连续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1)， 所以当n=k+1时，左边共有2k+3个连续自然数相加， 即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3). 所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3). 故选：C 6．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即， . 故选：C. 二、填空题 7．若存在正整数，使得能被整除，则的最大值为________． 【答案】. 【解析】由， 可得， 由此可猜想的最大值为. 下面用数学归纳法证明： （1）当时，显然成立； （2）假设当时，能被36整除， 当时，， 由假设可得能被36整除， 又由是2的倍数，所以能被36整除， 即当时，能被36整除， 由（1）（2）可知，对于一切正整数都有能被36整除， 所以的最大值为36. 故答案为：. 8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______. 【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2. 故答案为：25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 9．用数学归纳法证明关于n的不等式 (n∈N+)，由n=k递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________. 【答案】增加 【解析】假设n=k时，不等式成立，即+…+， 则当n=k+1时，不等式左边=+…+ =+…+ =+…+ =+…+. 故答案为：增加 三、解答题 10．设数列的前n项和为，且. (1)计算，，，，并猜想； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1)，，，，猜想；(2)证明见解析. 【解析】(1)当时，，； 时，，； 时，，； 时，，. 猜想. (2)下面用数学归纳法证明猜想： ①当时，，猜想成立； ②假设时猜想成立，即成立； 那么，当时，， ， 所以，即时，猜想成立， 由①②可知，对猜想均成立. 11．已知数列的前n项和为，其中且. （1）求； （2）猜想数列的通项公式，并证明． 【答案】（1），，；（2）猜想，证明见解析. 【解析】（1）由题意，数列满足，且， 可得， 即， 又由，可得，可得. （2）由，，， 猜想：， 证明：当时，由（1）可知等式成立； 假设时，猜想成立，即， 当时，由题设可得， 所以， ， 又由，所以， 所以， 即当时，命题也成立， 综上可得，命题对任意都成立. 12．用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】证明见解析 【解析】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立； （2）假设当时结论成立，即能被整除． 则当时， ， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由（1）（2）知命题对一切都成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第二册） 第四章 数列 4.4