4.2等差数列-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第二册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第二册） 第四章 数列 4.2等差数列 一、单选题 1．已知数列为等差数列，为前n项和，若，，则（ ） A．125 B．115 C．105 D．95 【答案】D 【解析】设数列的首项为，公差为d， 由题得：， 所以. 故选：D. 2．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前n项和为4，则n为（ ） A．81 B．80 C．64 D．63 【答案】B 【解析】因为数列的各项均为正数，且，， 所以， 所以是以4为首项，以4为公差的等差数列， 所以， 解得， 所以， 所以数列的前n项和为， 又因为其前n项和为4， 所以， 解得， 故选：B 3．在数列中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，， 由可得， 所以为以为首项，公差为的等差数列， 所以， 所以， 故选：A. 4．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知， 对任意的，都有成立，即，即， 又数列是首项为，公差为1的等差数列， ，且是单调递增数列，当时，， ，即，解得. 故选：B. 5．《周髀算经》规定“一衡之间万九千八百三十三里三分里之一”，就是相邻两衡间距离（半径差）为里，给出了计算各衡直径的一般法则，即“预知次衡径，倍而增内衡之径，二而增内衡径，得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径，须把半径差二倍加上内一衡（最小圆圈）的直径，次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步（当时300步为1里），则次三衡径为（ ） A．396666里200步 B．357000里000步 C．317333里100步 D．277666里200步 【答案】C 【解析】由题意可知半径差为， 内一衡径为238000里， 因此次二衡直径为：， 次三衡直径为：， 又因为300步为1里，所以里约为100步， 所以次三衡径为317333里100步. 故选：C 6．已知数列为等差数列，首项，公差，前n项和，则（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】由题意及等差数列前n项和公式，知：， ∴. 故选：C. 二、填空题 7．已知数列满足，且，，则该数列的前项之和为________． 【答案】 【解析】数列满足，且，， 当时，，解得；当时，，解得； 当时，，解得；当时，，解得； 当时，，解得；当时，，解得； 当时，，解得；当时，，解得． 故． 故答案为：45. 8．已知数列的前项和为，点在直线上．若，数列的前项和为，则满足的的最大值为________． 【答案】13 【解析】由题意知：，则， 当时，；当时，；而， ∴，， ∴， ∴， 当为奇数时，， 当为偶数时，， ∴要使，即或，解得且. 故答案为：13. 9．设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________. 【答案】4 【解析】由等差数列性质可知， 又， ∴, 解得， 故答案为：4 三、解答题 10．在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110． 【答案】S110＝－110． 【解析】法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则， 解得，． 法二：∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90， ∴a11＋a100＝－2． 又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2， ∴S110＝＝－110． 法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列， ∴设公差为d，数列前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22． ∴前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110． 法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d， 则＝a1＋(n－1)． ∴数列是等差数列，其公差为． ∴， 且． 代入已知数值，消去d， 可得S110＝－110． 11．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2， （1）求{an}的通项公式； （2）则{an}的前多少项和最大？ 【答案】（1）an＝34－2n；（2）前16项或前17项的和最大． 【解析】（1）法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n． 故{an}的通项公式为an＝34－2n． 法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n． （2）法一：(公式法)令